Invariance de la vitesse de la lumière et accélération

[invitec913303f]

Bonjour, question certainement digne de celui qui n'a riens compris mais. Comment sa se passe la vitesse de la lumière mesuré depuis un référentiel accélérer?

[invite6754323456711]

Comment sa se passe la vitesse de la lumière mesuré depuis un référentiel accélérer?

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2557237

Patrick

[mach3]

la vitesse reste constante pour les mesures locales, en revanche, on a un décalage de fréquence (équivalent au redshift gravitationnel) pour la lumière qui arrive parallèlement à l'accélération et une trajectoire courbé (la lumière "tombe") pour la lumière qui arrive perpendiculairement à l'accélération (voir schéma paragraphe 7.1 de http://www.ast.obs-mip.fr/users/lkoe.../cosmo5-7.html )

m@ch3

[invitec913303f]

Bonjour, alors justement, je me posait la question suivante. Quand on parle de localités, c'est à dire pour des distances très courtes ces ça?

C'est ce que représente de ds² que l'on trouve en RG ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Bonjour, alors justement, je me posait la question suivante. Quand on parle de localités, c'est à dire pour des distances très courtes ces ça? C'est ce que représente de ds² que l'on trouve en RG ?

Oui. Idéalement dans un voisinage infinitésimal d'un événement.

Et ds est la notation habituellement en mathématique pour représenter une variation infinitésimale d'une grandeur (ici l'inveralle s).

[invitec913303f]

Bonjour,

Cela représente quoi exactement l'intervalle s ?

Merci

[Deedee81]

Salut,

Cela représente quoi exactement l'intervalle s ?

Typiquement (au signe global près qui est une convention), on a :

Soit un événement aux coordonnées (x,y,z,t) et un autre événement aux coordonnées (x',y',z',t'). L'intervalle est noté :

s² = (x-x')² + (y-y')² + (z-z')² - c²(t-t')²

En fait c'est le carré. Pour s il faut prendre la racine carrée, mais on utilise rarement cette forme (d'autant que la valeur peut être imaginaire).

Tu remarqueras que pour la partie spatiale :
l²=(x-x')² + (y-y')² + (z-z')²
c'est simplement le carré de la distance l séparant les points (Pythagore).

On a donc :
s² = l² - c²(t-t')²

Une distance euclidienne dans un espace à quatre dimension s'écrirait :
l² + c²(t-t')²

La différence de signe a son importance. L'intervalle a la particularité de valoir 0 lorsque les deux événements peuvent être reliés par un signal lumineux. On a en effet dans ce cas : l = c*t

L'intervalle a aussi l'avantage d'être invariant sous les transformations de Lorentz.

On peut par divers raisonnements montrer l'invariance de l'intervalle (sous un changement de repère) en utilisant l'invariance de la vitesse de la lumière et l'homogénéité de l'espace et du temps. On trouve ça dans tout bon bouquin sur la RR.

Puisque s est différent de la distance euclidienne, cela montre que l'espace-temps ne peut pas être euclidien (la norme de tout vecteur est invariant et il existe un isomorphisme avec la distance. Or, en utilisant l'invariance de s il n'est pas difficile de voir que la distance 4D euclidienne n'est pas invariante).

s peut être vu comme la distance d'un espace à 4 dimensions obéissant à une géométrie différente, la géométrie de Minkowski. ds est alors appelé "élément de ligne" et permet de définir la métrique (de Minkowski) et le produi scalaire des vecteurs de cet espace (appelés typiquement quadrivecteurs).

[Amanuensis]

Il peut être utile de préciser de si Δs est temporel (Δs² positif en signature +---), alors il existe un référentiel tel que cet intervalle soit une partie d'une trajectoire d'un point matériel immobile dans ce référentiel ; Δs correspond alors à Δt.

Si ds est spatial (Δs² négatif), alors il existe un référentiel dans lequel Δs est la longueur d'un objet immobile dans ce référentiel.

Si Δs est tel que Δs² nul, c'est une partie de trajectoire nulle, celle d'un rayon lumineux dans le vide par exemple.

(Je n'ai pas mis les facteurs dimensionnant, qui dépendent du choix arbitraire de la dimension de Δs.)

[Deedee81]

Deux précisions :

- pour être clair, Amanuensis a noté Δs ce que j'ai simplement noté s. Il ne s'agit pas d'une nouvelle quantité.

- Pour préciser le premier cas cité par Amanuensis. Si on choisit d'attacher le repère de référence à un objet, alors la position de cet objet sera par définition x=y=z=0. Le temps de cet objet sera alors : Δs² = +/- Δt² (le signe dépend de la convention, - avec ma convention, + avec celle d'Amanuensis). Dans ce cas le temps t dans ce repère est appelé temps propre de cet objet.

Cette différence de convention concernant le signe est chiante mais ce n'est pas plus mal de l'avoir rencontré ici car on trouve aussi bien l'une que l'autre dans les articles et livres et on y est forcément confronté à un moment ou l'autre. Ce qui peut être perturbant.

[Deedee81]

Je n'avais pas vu, mais il y a un article spécifique dans Wikipedia :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Interva...27espace-temps

[Amanuensis]

- pour être clair, Amanuensis a noté Δs ce que j'ai simplement noté s.

Je trouve plus clair de noter un intervalle, car seuls les intervalles ont un sens dans ce cadre.

Si on cherche les notions rigoureuses ce n'est pas très simple. Ce que j'ai noté Δs c'est un tout petit intervalle d'espace-temps, une sorte de quantité vectorielle, qu'on peut interpréter comme B-A, B et A étant deux événements très proches l'un de l'autre (à l'instar de la convention permettant de noter avec B et A deux points du plan affine euclidien, c'est à dire en géométrie plane usuelle).

(Par très proches j'entends suffisamment proches pour qu'on puisse négliger la courbure.)

Edit : Je n'avais pas vu le dernier message de Deedee, ma présentation est assez proche de celle du wiki, signature comprise.

[invitec913303f]

Bonjour et merci beaucoup pour ces réponses précises.

Donc si je comprend bien, en fait s est une norme représentant la distance spatio-temporelle. Celle ci est invariante.

En fait si je saisit bien, s² = (x-x')² + (y-y')² + (z-z')² - c²(t-t')² établis en quelque sorte les composantes x y z et ct affin que x y z varie conformément aux transformations de lorentz?

Excusez moi si je m'exprime pas clairement.

[Deedee81]

Excusez moi si je m'exprime pas clairement.

Non, ça va, on peut dire ça comme ça. Même si ta phrase semble un peu bizarre

[invitec913303f]

Es ce que j'ai bon ?

Pourquoi il y à ce moins entre: l² et c²(t-t')²

[invitec913303f]

Quand tu dis que l'espace temps ne peut pas être euclidiens cela sous entend qu'un espace euclidiens implique violation de la causalités? (invarience de c )

Désolé si je met du temps à comprendre. Je fais de mon mieux.

Es ce que l'on utilise toujours s² = (x-x')² + (y-y')² + (z-z')² - c²(t-t')² en RG sa marche aussi?

[Amanuensis]

Pourquoi il y à ce moins entre: l² et c²(t-t')²

La science ne répond pas aux pourquoi... Si la norme était euclidienne (que des +), cela ne rendrait pas compte des notions d'intervalles temporels et spatiaux tels qu'on les observe.

[invite60be3959]

Bonjour,

Pourquoi il y à ce moins entre: l² et c²(t-t')²

Son origine est assez simple à comprendre. Mais il faut poser un contexte assez précis. Soit donc 2 référentiels R et R' qui coïncident initialement, c'est-à-dire que si (t,x) et (t',x') (on raisonne à une seule dimension d'espace, x) sont les coordonnées d'espace-temps respectives de R et de R', alors à t=t'=0 on a x=x'=0.
R' va être animé d'un mouvement rectiligne uniforme par rapport à R, et l'on envoi un signal lumineux dans la direction Ox (sens positif).
Puisque la vitesse de la lumière est c aussi bien dans R que dans R', on peut alors écrire les 2 relations évidentes suivantes :

dans R

dans R'

ce qui donne :



et



puis :

(1)

(2)

On a donc :



On a alors fait appraître un invariant (invariant par rapport aux systèmes de coordonnées de nos 2 référentiels R et R'). Cet invariant exprime en quelque sorte une "distance" (au carré), ce que l'on appel un intervalle d'espace-temps. On note alors :



est nul pour un rayon lumineux (ce qui défini d'ailleurs l'équation du "cône de lumière"), mais on peut montrer que la relation ci-dessus est vrai pour un objet qui se déplace à une vitesse différente de celle de la lumière(les coordonnées x et t décrivent alors la position spatio-temporelle de cet objet).

Maintenant, revenons à la situation initial, et considérons que le rayon lumineux à parcouru une distance très petite(infinitésimale) dx en un temps dt. On aura alors, de façon similaire :



et plus généralement, pour tout objets (autres qu'un rayon lumineux notamment) :



ce qu'il faut lire en fait : , mais on a pour habitude de ne pas écrire les parenthèses.

On définit alors ce que l'on appel la métrique de l'espace-temps(qui mesure les intervalles entre des évenements de l'espace-temps).

A trois dimension d'espace, la relation précédente se généralise tout de suite :



Voilà pour le côté formel des choses, mais ce qu'il faut retenir c'est que l'invariance de la vitesse de la lumière est responsable de la forme particulière (non-euclidienne) de la métrique de l'espace-temps.
Puisqu'elle est invariante, la vitesse de la lumière va forcément intervenir dans la définition des invariants qui apparaissent naturellements dans l'espace-temps, et c'est notamment le cas de la métrique.
Si ce n'avait pas été le cas, on aurait pas pu utiliser les relations (1) et (2) pour construire un invariant qui fait apparaître l'espace (x) et le temps (t) dans une même relation et qui définit un intervalle. On aurait été obligé, comme avant la RR, de séparer le temps et l'espace. La vitesse de la lumière les "rapproches" en quelque sorte.