Mécanique quantique, solution stationnaire.

Espace-Temps · 10/09/2011 - 20h01

Bonsoir,

J'aimerais avoir une précision sur ce qu'on appelle une solution stationnaire en mécanique quantique:
Est-une fonction d'onde qui ne dépend pas du temps, ou alors est-ce une fonction d'onde dont le module (au carré) ne dépend pas du temps ?
Deuxième question, pourquoi lorsque l'on résout l'équation de Schrödinger en mettant la dérivée temporelle nulle (i.e on cherche une fonction d'onde indépendante du temps): $\frac{d^2 \Psi(x)}{dx^2^}=0$ on ne trouve aucune solution, alors qu'en résolvant celle aux valeurs propre $H \Psi=E \Psi$ on en trouve ? N'y a-t-il pas une contradiction ?

Merci.

gatsu · 10/09/2011 - 21h33

Envoyé par Espace-Temps

ou alors est-ce une fonction d'onde dont le module (au carré) ne dépend pas du temps ?

Salut,
Oui c'est ça.

Espace-Temps · 10/09/2011 - 21h41

Donc quand on résout l'équation stationnaire on doit faire apparaitre le temps ?
En rajoutant le $e^{-iEt/\hbar}$ , même si ça sort un peu de nulle part ?

lionelod · 10/09/2011 - 22h26

Envoyé par Espace-Temps

Bonsoir,

J'aimerais avoir une précision sur ce qu'on appelle une solution stationnaire en mécanique quantique:
Est-une fonction d'onde qui ne dépend pas du temps, ou alors est-ce une fonction d'onde dont le module (au carré) ne dépend pas du temps ?
Deuxième question, pourquoi lorsque l'on résout l'équation de Schrödinger en mettant la dérivée temporelle nulle (i.e on cherche une fonction d'onde indépendante du temps): $\frac{d^2 \Psi(x)}{dx^2^}=0$ on ne trouve aucune solution, alors qu'en résolvant celle aux valeurs propre $H \Psi=E \Psi$ on en trouve ? N'y a-t-il pas une contradiction ?

Merci.

Bon reprenons tranquillement.
Un état stationnaire en MQ signifie "conservation de l'énergie".
Voila comment apparait la conservation de l'énergie en MQ.
Supposons qu'on mesure l'énergie d'un système quantique: $E_n$
$E_n$ est un état propre du système.
S'il y a conservation de l'énergie, cela signifie que $E_n$ n'évoluera plus et donc que l'état propre sera toujours le même.

La dépendance temporelle apparait comme un terme de phase global.
Or il est une règle importante en MQ, qui dit que deux états sont physiquement indiscernables, s'ils diffèrent seulement d'un facteur de phase.
L'évolution dans le temps ne se traduisant que par un seul facteur de phase, le système est stationnaire.

Espace-Temps · 10/09/2011 - 23h08

Ok, et donc pour la question juste au dessus ?
Et la deuxième du message initiale ?

coussin · 10/09/2011 - 23h22

Envoyé par Espace-Temps

Ok, et donc pour la question juste au dessus ?

Tu trouves la solution stationnaire en résolvant l'eq. de Schrödinger indépendante du temps. En injectant cette solution stationnaire dans l'eq. de Schrödinger dépendante du temps, la dépendance en $e^{\imath E t/ \hbar}$ apparaît naturellement

lionelod · 13/09/2011 - 19h23

Envoyé par Espace-Temps

Bonsoir,

Deuxième question, pourquoi lorsque l'on résout l'équation de Schrödinger en mettant la dérivée temporelle nulle (i.e on cherche une fonction d'onde indépendante du temps): $\frac{d^2 \Psi(x)}{dx^2^}=0$ on ne trouve aucune solution, alors qu'en résolvant celle aux valeurs propre $H \Psi=E \Psi$ on en trouve ? N'y a-t-il pas une contradiction ?

Pour la simple et bonne raison, qu'il y a les relations d'incertitudes...
Si, comme tu dis, tu mets la dérivée temporelle nulle, cela signifie que tu n'as aucune incertitude sur le temps, et par conséquent tu as une incertitude infinie sur l'énergie
$\Delta E \Delta t > \hbar$

coussin · 13/09/2011 - 19h32

Envoyé par lionelod

[…] tu mets la dérivée temporelle nulle, cela signifie que tu n'as aucune incertitude sur le temps […]

Pourquoi est-ce que dépendance temporelle nulle entraîne pas d'incertitude sur le temps ?

lionelod · 13/09/2011 - 19h39

Envoyé par Espace-Temps

Donc quand on résout l'équation stationnaire on doit faire apparaitre le temps ?
En rajoutant le $e^{-iEt/\hbar}$ , même si ça sort un peu de nulle part ?

On peut encore comprendre la stationnarité à partir des relations d'incertitudes.
Puisque le système est stationnaire, alors le systéme est conservatif (conservation de l'énergie). Par conséquent s'il on mesure une énergie En, on sait que cette énergie ne varie plus au cours du temps.
Donc, on connaitra avec certitude son énergie, et par conséquent l'incertitude sur le temps devient infinie, d'ou la stationnarité.

L'exponentielle est là pour nous dire que nous "voyons" le système sous son aspect ondulatoire. En effet, il s'agit d'une onde dont on connait parfaitement la pulsation (ou la période pour dire plus simplement) car on connait parfaitement le niveau d'énergie En.