Train souterrain - champ gravitationnel

BenzoX · 13/10/2011 - 10h51

Bonjour à tous,
J'ai résolu le problème de physique suivant : un train se déplace sans frottements dans un tunnel creusé suivant un diamètre de la Terre, Paris-Tokyo, par exemple. La Terre est supposée parfaitement sphérique à répartition de masse homogène. Il est lâché sans vitesse initiale depuis Paris, et l'on veut savoir en combien de temps va-t-il arriver à Tokyo. Pour ce faire, il faut calculer le champ gravitationnel appliqué au train ; j'ai plus ou moins admis que $g = g_{sol} \frac{r}{R}$ . Je sais que pour le démontrer, on utilise le théorème de Gauss, mais je ne comprends pas très bien comment faire les analogies avec l'électromagnétique. Une fois cette expression déterminée, le reste du problème se solutionne presque de lui-même.
Merci d'avance de votre aide.

**LPFR** · 13/10/2011 - 11h12

Bonjour et bienvenu au forum.
Vous pouvez avoir une démonstration "à la dure", sans utiliser le théorème de Gauss, dans les pages 11-3 et 11-4 de ce fascicule:
http://www.sendspace.com/file/ttrwye

Si non l'analogie consiste à dire que de même que les charges électriques créent du champ électrique et que div E = rhô/epsilon, les masses créent du champ gravitationnel $\vec g$ et que
$\vec\nabla\cdot \vec g = {G\over 4\pi}\rho_m$
où rhô_m est la densité de masse, et G la constante de gravitation universelle.
Au revoir.

stefjm · 13/10/2011 - 15h32

Bonjour LPFR,
Pourquoi dites-vous que c'est une analogie?

Pour le problème d'aujourd'hui, Le même modèle mathématique décrit les deux physiques. (gravitationnelle et électrostatique)

Cordialement.

BenzoX · 13/10/2011 - 18h49

Bonsoir,
@stefjm : ce sont certes les mêmes lois mathématiques qui régissent les deux forces, mais le théorème de Gauss porte originellement sur l'électrostatique, d'où le terme d'analogie. Et peut-être est-ce aussi simplement parce que j'ai moi-même parlé d'analogie dans ma question

@LPFR : Merci pour votre fascicule extrêmement complet, et pour votre explication ; un détail cependant, je ne maitrise pas encore la notion de divergence, j'avais abordé le théorème de Gauss en sup par le biais d'intégrales triples (ou doubles, en l'occurrence, puisqu'il s'agit d'une répartition surfacique). Mais il me semble j'ai toutes les clés en main pour comprendre l'analogie désormais ; une fois cela assimilé je me pencherai sur la démonstration "à la dure" (c'est bien celle qui est en 11.2.1 ?)

**LPFR** · 13/10/2011 - 19h41

Re.
- Qu'à cela ne tienne. J'ai aussi un fascicule sur le gradient, divergence, rotationnel, etc.:
http://forums.futura-sciences.com/at...aire-nabla.pdf
- Oui. C'est bien celle du 11.2.1.
A+

BenzoX · 13/10/2011 - 21h13

On peut dire que vous n'êtes pas dépourvu de ressources

Votre fascicule est très bien fait, particulièrement en ce qui concerne l'explication "physique" des opérateurs ; je suis rassuré de constater qu'avec l'expression à l'aide des intégrales, je retombe sur ma version du théorème de Gauss ; je n'ai plus qu'à faire le calcul moi-même pour me convaincre que ça marche, et le problème sera définitivement résolu.
Merci encore de votre aide !