[Optique] Montage 4f, la transformée de la transformée de Fourier

[yuki-kurama]

Salutation ^^

Voici mon problème, donc nous sommes dans le cas d'un montage 4f --> Objet--> lentille 1--> lentille 2 --> Image

Et on me demande de montrer que TF(TF(f(x,y))=f(-x,-y) donc que la transformée de la transformée de Fourier est la fonction opposée ^^

Tout ce que je sais en fait c'est que la transformée de Fourier 2D est celle-ci :

F(u,v) = S(-infini,+infini)S(-infini,+infini) [f(x,y).exp(i2pi(ux+vy)]dxdy

Donc ça c'est la transformée, mais comment montrer que si on refait la transformée de fourrier ça va tout simplement nous redonner f(-x,-y)? O_o

J'ai fais quelque recherches mais je n'ai rien trouver sur la transformée de la transformée de Fourier T_T

Help me please !

Merci d'avance

[yuki-kurama]

Nan, personne? ^^

[phuphus]

Bonjour,

je suis en général simple utilisateur de la TF, et ce que tu cites est une des propriétés connues, que je me contente pour ma part d'admettre. Je ne vais donc pas pouvoir t'aider beaucoup, mais tu peux essayer en commençant par là :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transfo...ourier_inverse

La transformée inverse est la même que la transformée de Fourier au signe près. Sachant cela, le résultat que l'on te demande est immédiat. Donc je ne fais que tu mettre "un cran plus loin" : pourquoi la TF inverse est-elle la même au signe près.

Ta question aurait peut-être plus de pertinence dans le sous-forum mathématiques.

[yuki-kurama]

Salutation ^^

Donc oui au final j'ai mis le même sujet dans la section math, c'est vrai que c'est plus une partie mathématique que physique sur le coup...

Par contre il faut pas confondre, c'est pas la transformée INVERSE de la transformée de fourier dont je parle moi ^^, je parle de la transformée de fourier de la transformée de fourier, soit une double transformée de fourier en quelques sortes ^^

[phuphus]

Bonjour,

j'avais bien compris. Regarde l'expression de la transformée inverse : c'est la même que la transformée de Fourier, au signe près. Donc forcément, si TFI(TF)) = fonction originale avec le signe comme seule différence entre TFI et TF, alors TF(TF)) = - fonction.

[yuki-kurama]

Ha ok oui j'ai compris, mais du coup c'est vrai que ça coule de source, mais pour moi il faudrait que je fasse une démonstration complète et c'est là ou j'ai quelques difficultés...

[phuphus]

Bonjour,

comme je l'ai évoqué précédemment, ta démonstration revient finalement à démontrer l'expression de la transformée de Fourier inverse. Tu as deux telles démonstrations dans le lien que je t'ai donné plus haut ("Preuve par la formule sommatoire de Poisson" et "Preuve par l'analyse non standard"), il faut juste les "afficher". Après, est-ce qu'on te demande vraiment d'aller jusque là, c'est à toi de voir.