Variables de Grassmann

[G13]

Bonjour,
Je ne comprends rien aux variables de Grassmann. Sur le site Planetmath qui donnent les definitions des notions mathematique, il y a une algebre de Grassmann qui est l'algebre exterieure d'un espace vectoriel donc c'est une construction algebrique.Donc les variables de Grassmann varient-elles vraiment ? ou bien un calcul avec ces variables est-il du calcul formel ? (un peu comme la renormalisation avec les masses qui sont des integrales divergentes, si j'ai bien compris)

[Karibou Blanc]

Les variables de Grassmann sont des nombres, mais l'algebre (les regles de calculs qu'ils satisfont) est differente : Ce sont des nombres ANTI-commutant, ex :
ab=-ba mais attention a et b sont des nombrees complexes pas des matrices.

Il ya un chapitre dans le Peskin de QFT qui introduit ca je pense.

En gros c'est utile en theorie des champs quand on veut quantifier la theorie a l'aide l'integrale de chemin un systeme de fermions. En gros (encore) dans cette approche on n'a plus d'espace de Hilbert et donc les champs ne sont plus des operateurs, c'est pourquoi afin de reproduire la bonne statistique pour les champs de fermion (qui sont de simple fonction maintenant), on les represente par nombres de grassman qui anti-commutent.

ou bien un calcul avec ces variables est-il du calcul formel ?

c'est a dire ?

un peu comme la renormalisation avec les masses qui sont des integrales divergentes, si j'ai bien compris

quel rapport avec les variables de grassmann ?

KB

[G13]

Merci , Karibou Blanc.
Par calcul formel, je voulais dire que je n'avais pas compris la structure mathematique des variables de Grassmann. Par exemple, le produit de deux variables de Grassmann commute avec toute variable de Grassmann donc est-ce un reel ou un complexe, ou bien est-ce une expression qui intervient dans les calculs selon certaines regles ?
L'integrale des fonctions de variables de Grassman a-t-elle une definition en terme de somme d'infiniment petit, ou est-elle defini comme etant une forme lineaire verifiant certaines conditions ?
Sinon, non, il n'y a aucun rapport avec la renormalisation. Je voulais juste dire que, dans la renormalisation, le calcul d'une interaction se fait en faisant tendre les mailles du reseau vers l'infiniment petit avec une masse qui depend de la taille des mailles, donc c'est assez eloigné de notre perception, comme des nombres qui anticommutent.

[Karibou Blanc]

Salut,

Sinon, non, il n'y a aucun rapport avec la renormalisation. Je voulais juste dire que, dans la renormalisation, le calcul d'une interaction se fait en faisant tendre les mailles du reseau vers l'infiniment petit avec une masse qui depend de la taille des mailles, donc c'est assez eloigné de notre perception, comme des nombres qui anticommutent.

Alors oublions la renormalisation dans cette discussion

le produit de deux variables de Grassmann commute avec toute variable de Grassmann

Le produit commute a une 3eme variable car tu recuperes deux signes moins en passant les deux facteurs de ton produit de l'ordre cote.

est-ce un reel ou un complexe, ou bien est-ce une expression qui intervient dans les calculs selon certaines regles ?

Les variables de G peuvent etre reelles ou complexes comme les nombres ordinaires. C'est simplement le comportement de ces nombres sont les operations usuelles (+ et x) qui sont differentes. Ils obeissent a une ALGEBRE differente.

En gros, si tu utilises des champs (des fonctions des variables d'espace-temps, x, qui sont des nombres ordinaires) qui sont des nombres usuels (commutant) tu decris des bosons et si tu prends des champs qui satisfont l'algebre de Grassman alors tu decris des fermions. Et cela sans operateur ! Les grandeurs physiques ne sont plus representees par des matrices agissant sur des vecteurs d'un espace de Hilbert. C'est de la MQ a la Feynman.

Par contre quantifier une theorie de champs grassmanien, il faut construire une integrale de chemin, donc il faut definir l'integration tout court. Ce serait un peu long a detailler, ce sont juste des difinitions. Je te laisse faire une recherche sur le net.
Sinon : J. Berezin : Introduction to second quantification.

KB

[G13]

D'accord. Merci. Je crois que j'ai compris. On retrouve le meme resultat au niveau des diagrammes de Feynman avec les integrales sur les chemins et avec les operateurs.