Lettres et signification

Blender82 · 06/07/2012 - 19h02

Bonjour,
cela fait longtemps que je me trouve face à un problème : la signification "globale" des lettres en physique.
Je m'explique, j'ai là sous mes yeux un cours de physique (méca) il y a la basique formule de la vitesse $v=\frac{dx}{dt}$
OK, c'est le diminutif de $v=\frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}$
Tout le monde est d'accord !
Maintenant, j'ai ouvert une autre discussion et voici la réponse seulement, il s'avère que la fraction est en fait une dérivée et c'est là que je ne m'y retrouve plus ! (discussion)
$u=L\frac{di}{dt}$
Ou alors le $v=\frac{dx}{dt}$ est en fait une dérivée (ce que je pense sincèrement) mais je suis fatigué et il faut absolument que je me repose !

Sinon, l'objet principal de ma question concerne la signification des lettres utilisées. On connait tous le $\Delta$ pour signifier une différence.
Mais que signifie alors le $\partial$ ? Une dérivée ou une différence ?
Ce que je voudrais savoir, c'est précisément la signification de ces symboles pour mieux aborder les formules sans me poser de questions
Merci d'avance !

Blender82

coussin · 06/07/2012 - 19h08

Envoyé par Blender82

OK, c'est le diminutif de $v=\frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}$
Tout le monde est d'accord !

Ah bah nan, pas moi

dx et dt ont une signification bien précise : ce sont des éléments différentiels. Je laisse les matheux t'en dire plus…

Blender82 · 06/07/2012 - 19h17

Donc ce serait plus $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$
Par contre, j'ai essayé (par le passé) d'aborder les équations différentielles mais je n'ai pas eu le temps vraiment de les aborder.
Quelqu'un pourrait m'en dire plus ou il faut que je crée une nouvelle discussion ?
Merci d'avance !

Blender82

PS : et sinon pour les lettres ?

lucas.gautheron · 06/07/2012 - 19h32

Bonsoir,

les "d" à la place des "delta majuscule" indiquent des quantités infinitésimales. Ainsi, $\Delta x$ ou $\Delta t$ sont des variations de certaines quantités auxquelles on peut donner certaines valeurs (exemple : $\Delta t = 5 \mbox{ s}$ ) mais ça n'aurait aucun sens d'écrire $dt = 5 \mbox{ s}$ .

Quand on écrit : $v = \frac{dx}{dt}$ , on écrit que la vitesse est la dérivée de x par rapport au temps.
En fait, cela est équivalent à : $v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$

Autre chose : la variation de la position x est donnée par la somme (intégrale) des variations infinitésimales de la position, càd :
$\Delta x = \int dx$

Mais dx = v.dt d'où :

$\Delta x = \int_{t_0}^{t_1} v.dt$

Il existe d'autres façons de noter une quantité infinitésimale : par exemple, on note parfois le travail élémentaire d'une force sur une distance élémentaire (= infinitésimale) $\delta W = \vec{F}.\vec{dl}$ . On privilégie cette notation quand la quantité n'est pas une variation à proprement parler, mais plutôt une contribution infinitésimale par exemple.

Au passage, vous pourrez rencontrer une notation particulière faisant généralement allusion à la dérivée par rapport au temps d'une variable : $\dot{x} = \frac{dx}{dt}$ (un x surmonté d'un point)

Si la x est surmonté de deux points, il s'agit de la dérivée seconde par rapport au temps (ici, l'accélération) :
$\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}$

A+,

Sethy · 06/07/2012 - 19h37

Prenons un exemple. $P = \frac{F}{S}$

**LPFR** · 06/07/2012 - 19h43

Bonjour.
Le symbole $\partial$ n'est ni une dérivée ni une différence. C'est une "recette de cuisine": un opérateur. C'est à dire une façon abrégée de décrire ce qu'il faut faire.
Ainsi, par exemple
$\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial y}$
veut dire "dérivez la fonction F(x,y,z) comme si 'x' et 'z' étaient des constantes et que seulement 'y' était variable". Ce qui se lit comme "dérivée partielle de F(x,y,z) par rapport à 'y'".
Souvent, des flemmards écrivent ça en "simplifiant" l'écriture en compliquant la lecture:
$\partial_y F(x,y,z)$
Je ne le fais pas.
Au revoir.

FlyingDeutschmann · 06/07/2012 - 19h48

Qu'on soit clair : dx/dt veut dire dérivée sans aucune ambiguïté !

$v=\frac{dx}{dt}$ fait bien intervenir une dérivée ! La vitesse est la dérivée de la position.

Une dérivée est très proche de la notion d'écart relatif en fait. La vitesse est justement un bon exemple pour expliquer ce que c'est:

Imagine une voiture qui se déplace. Dans la vie de tous les jours, tu estimes pouvoir calculer sa vitesse en mesurant sa position $x_1=x(t_1)$ à un instant t1 et à un autre instant $x_2=x(t_2)$ et tu appliques la formule que tu cites ci-dessus. Le problème, c'est que si la voiture a accéléré ou ralenti, ou suivi un mouvement bizarre, tu n'auras que la vitesse moyenne. Une solution est de réduire l'intervalle de temps, mais dans un cas "idéal" ou la voiture peut vraiment faire ce qu'elle veut aussi vite qu'elle veut, elle pourra toujours se déplacer de manière accélérée pendant ta mesure.
Ce qu'on aimerait faire, c'est que l'intervalle de temps pour la mesure soit infiniment petit. On ne peut pas le faire dans la vraie vie, mais on peut le faire en mathématiques. Si on dit que la voiture a, à chaque instant t, une position x(t), on peut dire qu'on va prendre la limite de la mesure de vitesse moyenne lorsque l'intervalle de mesure tend vers 0. C'est ce qu'on appelle la vitesse instantanée, ou la dérivée :

$v_{inst}(t_1)=\lim_{t_2\to t_1}\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}=\lim_{h\to 0} \frac{x(t_1+h)-x(t1)}{h}$
Lorsque l'on écrit $t_2=t_1+h$ .

C'est la définition qu'on va utiliser en physique car c'est la plus précise possible.

Lorsqu'on fait une expérience, bien entendu qu'on ne peut pas mesurer la vraie dérivée, mais on sait que si on fait les mesures à deux temps qui sont suffisamment proches (cela dépend de l'expérience, pour un pendule, il faut faire une mesure sur un temps nettement plus petit qu'une période), on aura une bonne approximation de la dérivée. L'expérimentateur pourrait écrire :
$v=\frac{dx}{dt}\approx \frac{\Delta x}{\Delta t} = ...$ .

D'un point de vue notation, trois symboles:

$\Delta$ désigne une différence. C'est ce qu'on utilise dans le monde réel
$d$ désigne une différence quand on prend la limite des écart très petits.

Beaucoup de physiciens font peu de cas de la rigueur mathématique et écrivent dx ou dt tout seul, alors que ça devrait valoir 0 (oui, la limite de h quand h tend vers 0 est bien 0 ). Dans ce cas ce qu'ils font en réalité est qu'ils considèrent que ce dx est en fait un Delta x, mais dont ils prendront la limite en 0 lorsqu'après quelques calculs, ils obtiendront un vrai dx/dt, ou lorsqu'ils feront une intégrale (parce que $\sum_{n=0}^{1/\Delta x} f(x+n\Delta)$ tend vers l'intégrale de f entre 0 et 1 quand Delta x tend vers 0.
$\partial$ est une dérivée partielle. C'est le symbole utilisé pour désigner la dérivée d'une fonction à plusieurs variables. Si on considère f(x,y) une fonction, sa dérivée par rapport à x est :
$\frac{\partial f}{\partial x}\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
C'est la dérivée en variant les x et en gardant les y constants.

Paraboloide_Hyperbolique · 06/07/2012 - 19h50

Bonjour,

De manière simplifiée, et en reprenant vos notations. Je suppose que vous définissez:

$x_2 = x(t_2)$ la position à un temps $t_2$
$x_1 = x(t_1)$ la position à un temps $t_1$

avec $t_2 > t_1$

Alors, $v_{moy} = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$ est la vitesse moyenne entre les instants $t_1$ et $t_2$ .

La formule:

$v = \frac{dx}{dt}$ est la vitesse instantanée. Elle est liée à la vitesse moyenne au travers d'une limite.

Posons en effet $\Delta t = t_2 - t_1$ , la différence entre les deux instants $t_1$ et $t_2$ . Alors:

$v = \frac{dx}{dt} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t+\Delta t) - x(t_1)}{\Delta t}$

Donc l'expression $\frac{dx}{dt}$ est égale à la formule $\frac{x_2 - x_1}{t_2-t_1}$ pour deux instants $t_1$ et $t_2$ infiniment proches l'un de l'autre au sens de la limite mathématique.

Concernant la notation $/partial$ , il s'agit d'une dérivée partielle. Pour faire (très) simple et comme je ne connais pas votre niveau mathématiques, je vais me contenter d'utiliser une visualisation graphique peu rigoureuse.

-) En une dimension (pour des fonctions de R dans R) il n'y pas de différence entre la dérivée ordinaire $d$ et la dérivée partielle $\partial$ . C'est la même chose. Graphiquement, la dérivée et la droite qui approxime le mieux votre fonctions (ici la fonction position) en un point donné (c'est la tangente en ce point).

-) Les choses changes en dimensions supérieures. En dimension deux, on peut se réprésenter une fonctions de R^2 dans R comme une "nappe" 2D plongée dans un espace à trois dimensions (j'insiste sur le fait que tout ceci est très visuel et loin d'être rigoureux).

La dérivée $d$ (appelée dérivée totale) en un point de cette "nappe" est le plan tangent approximant le mieux cette "nappe" au point considéré.

Les dérivées partielles $\partial$ (car il y en a deux pour une fonction de R^2 dans R) sont deux droites tangentes au point considéré et perpendiculaires entre elles. Elle sont contenues dans le plan tangent ci-dessus (du moins quand celui-ci existe).

-) On peut continuer ainsi en plus hautes dimensions, où on aurait alors une "volume tangent" à un volume plongé dans un espace à 4 dimensions (là cela devient difficile à visualiser). Et bien sur, il y a trois dérivées partielles qui sont trois droites tangentes au point considéré et perpendiculaires entre elles.

Pourquoi faire une distinction entre dérivée totale et dérivées partielles ? Dans le cas 2D on pourrait se dire que les deux droites tangentes (et perpendiculaires entre elles de surcroît) définissent le plan tangent. Cela est vrai si le plan tangent existe. Il existe malheureusement des fonctions "pathologiques" pour lesquelles les dérivées partielles (le droites tangentes) existent, mais pas le plan tangent. D'où la distinction et d'où les notations différentes pour éviter tout risque d'ambiguité.

Comme je l'ai signalé, tout ceci est très imagé et peut rigoureux. Si vous souhaitez des détails plus précis quant-à ces définitions mathématiques, n'hésitez pas à les demander. Vous pouvez aussi les trouver dans un bon livre d'analyse.

lucas.gautheron · 06/07/2012 - 19h51

Bonsoir LPFR,

Envoyé par LPFR

Bonjour.
Le symbole $\partial$ n'est ni une dérivée ni une différence. C'est une "recette de cuisine": un opérateur. C'est à dire une façon abrégée de décrire ce qu'il faut faire.
Ainsi, par exemple
$\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial y}$
veut dire "dérivez la fonction F(x,y,z) comme si 'x' et 'z' étaient des constantes et que seulement 'y' était variable". Ce qui se lit comme "dérivée partielle de F(x,y,z) par rapport à 'y'".
Souvent, des flemmards écrivent ça en "simplifiant" l'écriture en compliquant la lecture:
$\partial_y F(x,y,z)$
Je ne le fais pas.
Au revoir.

Je souhaitais simplement ajouter, au cas où et si je ne me trompe pas, qu'une autre notation peut être rencontrée, signifiant la même chose :

$(\frac{\partial F}{\partial y})_{x,z}$

A+,

Blender82 · 06/07/2012 - 21h01

Merci sincèrement !
Je n'en demandait pas tant, mais au moins vous avez su faire apparaître une lueur de compréhension des différences entre $d$ , $\partial$ et $\Delta$
Cependant, cela reste encore à redéfinir.
Cela dit, concernant $\partial$ , si j'ai bien compris, c'est un "plus" de précision concernant la dérivée :
$\partial_{y} f(x,y)$ c'est en fait la dérivée de la courbe de $f$ en une ordonnée $y$ définie. Pour continuer l'illustration, cela revient à "renverser" le graphique et de déterminer la dérivée de de la courbe de la même manière qu'on le ferait avec $x$ en abscisse sauf qu'il est désormais en ordonnée et $y$ est en abscisse.
Mais dans le cas d'une parabole simple $f(x)=x^{2}$ , alors $\forall y \in \mathbb{R}^{+*}$ , il y a deux solutions à $\partial_y f(x,y)$ ou est-ce que je me trompe ?
Et sinon, écrire $\partial_{x} f(x,y)$ revient tout simplement à écrire $f'(x)$ si j'ai bien compris...
De plus, lorsque l'on utilise $d$ , on fait référence à une donnée infinitésimale par exemple $dx = x_2 - x_1 \Leftrightarrow dx \to 0$
Et enfin, $\Delta x = x_2 - x_1 \Leftrightarrow dx \to 0$
Si j'ai fait des erreurs, je vous demande de me corriger
Merci pour tout !

Blender82

PS : l'avantage que tout le monde réponde en même temps sans s'en apercevoir c'est que l'on a plein de versions différentes qui s'enrichissent les unes les autres

FlyingDeutschmann · 06/07/2012 - 21h18

Arg non. C'est pas ça. C'est vrai que si tu n'es pas habitué, les notations peuvent être trompeuses.
Si tu relis bien les nombreux messages, tu verras qu'on parle de fonctions à plusieurs variables.

Ce que l'on décrit, ce sont les fonctions qui décrivent des surfaces et non plus des courbes, pour le cas de deux variables.

À une variable, la courbe est décrite par l'équation y=f(x).
Pour que les notations soient plus claires, on se met cette fois dans un espace à 3 dimensions (x1,x2,y), et on regarde les surfaces définies par y=f(x1,x2).

Tu vois que cette fois-ci, en partant d'un point, on peut se déplacer dans deux directions x1 et x2. La dérivée partielle désignée par $\partial$ correspond à la dérivée quand on se déplace dans une direction. L'idée, c'est qu'on prend une section de la surface sur un plan x2=constante, et on obtient une courbe y=f(x1,x2) où x2 reste fixé. On peut maintenant prendre la dérivée comme pour une courbe normale, ce qui est résumé par la définition :

$\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_1+h,x_2) - f(x_1,x_2)}{h}$

Blender82 · 07/07/2012 - 14h01

J'ai fait une image de ce que j'ai compris de vos explications *
Par contre, des fois, j'ai rencontré des $\partial$ tout seuls. Je vous donne un exemple tiré du livret que m'a donné LPFR sur la méca :
$\vec {\nabla} ( \frac {\partial}{\partial_x} , \frac {\partial}{\partial_y} , \frac {\partial}{\partial_z})$
Est-ce que par l'écriture on suggère que se soit en fait :
$\vec {\nabla} ( \frac {\partial f}{\partial_x f} , \frac {\partial f}{\partial_y f} , \frac {\partial f}{\partial_z f})$
avec $f$ la fonction définie par $f(x,y)=z$ et que vu les circonstances (formule générale), on ne mette pas de $f$ pour garder le caractère général de la formule ?
Merci d'avance,

Blender82

*partial.png

**LPFR** · 07/07/2012 - 14h23

Re.
Ça frise la calomnie.
Je n'ai pas écrit:
$\vec {\nabla} ( \frac {\partial}{\partial_x} , \frac {\partial}{\partial_y} , \frac {\partial}{\partial_z})$
mais
$\vec {\nabla} = \left( \frac {\partial}{\partial x} , \frac {\partial}{\partial y} , \frac {\partial}{\partial z}\right)$

Qui est la définition de l'opérateur nabla.
Et si, au lieu de choper une formule hors de son contexte, vous lissez le fascicule, vous comprendrez ce qu'il faut faire avec l'opérateur et qui n'est en aucun cas :
$\vec {\nabla} ( \frac {\partial f}{\partial_x f} , \frac {\partial f}{\partial_y f} , \frac {\partial f}{\partial_z f})$ (qui est une connerie).

Je ne vais pas vous réécrire le fascicule. Vous l'avez, lissez-le attentivement.
A+

lucas.gautheron · 07/07/2012 - 14h24

Bonjour,

Envoyé par Blender82

J'ai fait une image de ce que j'ai compris de vos explications *
Par contre, des fois, j'ai rencontré des $\partial$ tout seuls. Je vous donne un exemple tiré du livret que m'a donné LPFR sur la méca :
$\vec {\nabla} ( \frac {\partial}{\partial_x} , \frac {\partial}{\partial_y} , \frac {\partial}{\partial_z})$
Est-ce que par l'écriture on suggère que se soit en fait :
$\vec {\nabla} ( \frac {\partial f}{\partial_x f} , \frac {\partial f}{\partial_y f} , \frac {\partial f}{\partial_z f})$
avec $f$ la fonction définie par $f(x,y)=z$ et que vu les circonstances (formule générale), on ne mette pas de $f$ pour garder le caractère général de la formule ?
Merci d'avance,

Blender82

*Pièce jointe 187797

Non. C'est en fait :

$\vec {\nabla} F(x, y, z) = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) F(x, y, z) = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z})$

Il s'agit du gradient de F, F étant une certaine fonction de l'espace qui associe à chaque triplet (x, y, z) (coordonnées) une certaine valeur.

A+,

Paraboloide_Hyperbolique · 07/07/2012 - 15h16

Blender82, concernant votre dessin:

-) La droite tangente de coefficient angulaire $\partial_y f(x, y)$ doit avoir la même direction que la direction y de votre repère. Vous avez dessiné $\partial_x f(x, y)$

-) Le plan contenant cette droite doit être tangent à la fonction au même point où la droite est tangente.

Concernant l'opérateur nabla ( $\vec{\nabla}$ ), rien de tel qu'un petit exemple:

Soit $f: R^2 \rightarrow R : (x, y) \mapsto f(x, y) = \exp\left(-(x^2+y^2) \right)$ . Alors:

$\frac{\partial f}{\partial x} = -2x \ f(x, y)$
$\frac{\partial f}{\partial y} = -2y \ f(x, y)$

Et:

$\vec{\nabla}f(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \ \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \left(-2x \ f(x, y) , \ -2y \ f(x, y)\right)$