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Lettres et signification

  1. Blender82

    Date d'inscription
    septembre 2011
    Localisation
    Heisenberg vous le dira... Ici et là !
    Messages
    535

    Lettres et signification

    Bonjour,
    cela fait longtemps que je me trouve face à un problème : la signification "globale" des lettres en physique.
    Je m'explique, j'ai là sous mes yeux un cours de physique (méca) il y a la basique formule de la vitesse
    OK, c'est le diminutif de
    Tout le monde est d'accord !
    Maintenant, j'ai ouvert une autre discussion et voici la réponse seulement, il s'avère que la fraction est en fait une dérivée et c'est là que je ne m'y retrouve plus ! (discussion)

    Ou alors le est en fait une dérivée (ce que je pense sincèrement) mais je suis fatigué et il faut absolument que je me repose !

    Sinon, l'objet principal de ma question concerne la signification des lettres utilisées. On connait tous le pour signifier une différence.
    Mais que signifie alors le ? Une dérivée ou une différence ?
    Ce que je voudrais savoir, c'est précisément la signification de ces symboles pour mieux aborder les formules sans me poser de questions
    Merci d'avance !

    Blender82

    -----

    Rien ne vaut l'expérience... surtout quand elle est foireuse !
     


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  2. coussin

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Localisation
    Paris
    Messages
    4 038

    Re : Lettres et signification

    Citation Envoyé par Blender82 Voir le message
    OK, c'est le diminutif de
    Tout le monde est d'accord !
    Ah bah nan, pas moi
    dx et dt ont une signification bien précise : ce sont des éléments différentiels. Je laisse les matheux t'en dire plus…
     

  3. Blender82

    Date d'inscription
    septembre 2011
    Localisation
    Heisenberg vous le dira... Ici et là !
    Messages
    535

    Re : Lettres et signification

    Donc ce serait plus
    Par contre, j'ai essayé (par le passé) d'aborder les équations différentielles mais je n'ai pas eu le temps vraiment de les aborder.
    Quelqu'un pourrait m'en dire plus ou il faut que je crée une nouvelle discussion ?
    Merci d'avance !

    Blender82

    PS : et sinon pour les lettres ?
    Dernière modification par Blender82 ; 06/07/2012 à 19h20.
    Rien ne vaut l'expérience... surtout quand elle est foireuse !
     

  4. lucas.gautheron

    Date d'inscription
    décembre 2011
    Localisation
    |Annecy> + |Cachan>
    Âge
    22
    Messages
    1 620

    Re : Lettres et signification

    Bonsoir,

    les "d" à la place des "delta majuscule" indiquent des quantités infinitésimales. Ainsi, ou sont des variations de certaines quantités auxquelles on peut donner certaines valeurs (exemple : ) mais ça n'aurait aucun sens d'écrire .

    Quand on écrit : , on écrit que la vitesse est la dérivée de x par rapport au temps.
    En fait, cela est équivalent à :

    Autre chose : la variation de la position x est donnée par la somme (intégrale) des variations infinitésimales de la position, càd :


    Mais dx = v.dt d'où :



    Il existe d'autres façons de noter une quantité infinitésimale : par exemple, on note parfois le travail élémentaire d'une force sur une distance élémentaire (= infinitésimale) . On privilégie cette notation quand la quantité n'est pas une variation à proprement parler, mais plutôt une contribution infinitésimale par exemple.

    Au passage, vous pourrez rencontrer une notation particulière faisant généralement allusion à la dérivée par rapport au temps d'une variable : (un x surmonté d'un point)

    Si la x est surmonté de deux points, il s'agit de la dérivée seconde par rapport au temps (ici, l'accélération) :


    A+,
     

  5. Sethy

    Date d'inscription
    juillet 2008
    Âge
    50
    Messages
    1 880

    Re : Lettres et signification

    Prenons un exemple.
     


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  6. LPFR

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    42 773

    Re : Lettres et signification

    Bonjour.
    Le symbole n'est ni une dérivée ni une différence. C'est une "recette de cuisine": un opérateur. C'est à dire une façon abrégée de décrire ce qu'il faut faire.
    Ainsi, par exemple

    veut dire "dérivez la fonction F(x,y,z) comme si 'x' et 'z' étaient des constantes et que seulement 'y' était variable". Ce qui se lit comme "dérivée partielle de F(x,y,z) par rapport à 'y'".
    Souvent, des flemmards écrivent ça en "simplifiant" l'écriture en compliquant la lecture:

    Je ne le fais pas.
    Au revoir.
     

  7. FlyingDeutschmann

    Date d'inscription
    juin 2012
    Messages
    152

    Re : Lettres et signification

    Qu'on soit clair : dx/dt veut dire dérivée sans aucune ambiguïté !

    fait bien intervenir une dérivée ! La vitesse est la dérivée de la position.

    Une dérivée est très proche de la notion d'écart relatif en fait. La vitesse est justement un bon exemple pour expliquer ce que c'est:

    Imagine une voiture qui se déplace. Dans la vie de tous les jours, tu estimes pouvoir calculer sa vitesse en mesurant sa position à un instant t1 et à un autre instant et tu appliques la formule que tu cites ci-dessus. Le problème, c'est que si la voiture a accéléré ou ralenti, ou suivi un mouvement bizarre, tu n'auras que la vitesse moyenne. Une solution est de réduire l'intervalle de temps, mais dans un cas "idéal" ou la voiture peut vraiment faire ce qu'elle veut aussi vite qu'elle veut, elle pourra toujours se déplacer de manière accélérée pendant ta mesure.
    Ce qu'on aimerait faire, c'est que l'intervalle de temps pour la mesure soit infiniment petit. On ne peut pas le faire dans la vraie vie, mais on peut le faire en mathématiques. Si on dit que la voiture a, à chaque instant t, une position x(t), on peut dire qu'on va prendre la limite de la mesure de vitesse moyenne lorsque l'intervalle de mesure tend vers 0. C'est ce qu'on appelle la vitesse instantanée, ou la dérivée :


    Lorsque l'on écrit .

    C'est la définition qu'on va utiliser en physique car c'est la plus précise possible.

    Lorsqu'on fait une expérience, bien entendu qu'on ne peut pas mesurer la vraie dérivée, mais on sait que si on fait les mesures à deux temps qui sont suffisamment proches (cela dépend de l'expérience, pour un pendule, il faut faire une mesure sur un temps nettement plus petit qu'une période), on aura une bonne approximation de la dérivée. L'expérimentateur pourrait écrire :
    .

    D'un point de vue notation, trois symboles:
    • désigne une différence. C'est ce qu'on utilise dans le monde réel
    • désigne une différence quand on prend la limite des écart très petits.

      Beaucoup de physiciens font peu de cas de la rigueur mathématique et écrivent dx ou dt tout seul, alors que ça devrait valoir 0 (oui, la limite de h quand h tend vers 0 est bien 0 ). Dans ce cas ce qu'ils font en réalité est qu'ils considèrent que ce dx est en fait un Delta x, mais dont ils prendront la limite en 0 lorsqu'après quelques calculs, ils obtiendront un vrai dx/dt, ou lorsqu'ils feront une intégrale (parce que tend vers l'intégrale de f entre 0 et 1 quand Delta x tend vers 0.
    • est une dérivée partielle. C'est le symbole utilisé pour désigner la dérivée d'une fonction à plusieurs variables. Si on considère f(x,y) une fonction, sa dérivée par rapport à x est :

      C'est la dérivée en variant les x et en gardant les y constants.
    Dernière modification par LPFR ; 07/07/2012 à 06h28.
     

  8. Paraboloide_Hyperbolique

    Date d'inscription
    juin 2012
    Localisation
    Liège
    Âge
    33
    Messages
    1 732

    Re : Lettres et signification

    Bonjour,

    De manière simplifiée, et en reprenant vos notations. Je suppose que vous définissez:

    la position à un temps
    la position à un temps

    avec

    Alors, est la vitesse moyenne entre les instants et .

    La formule:

    est la vitesse instantanée. Elle est liée à la vitesse moyenne au travers d'une limite.

    Posons en effet , la différence entre les deux instants et . Alors:



    Donc l'expression est égale à la formule pour deux instants et infiniment proches l'un de l'autre au sens de la limite mathématique.


    Concernant la notation , il s'agit d'une dérivée partielle. Pour faire (très) simple et comme je ne connais pas votre niveau mathématiques, je vais me contenter d'utiliser une visualisation graphique peu rigoureuse.

    -) En une dimension (pour des fonctions de R dans R) il n'y pas de différence entre la dérivée ordinaire et la dérivée partielle . C'est la même chose. Graphiquement, la dérivée et la droite qui approxime le mieux votre fonctions (ici la fonction position) en un point donné (c'est la tangente en ce point).

    -) Les choses changes en dimensions supérieures. En dimension deux, on peut se réprésenter une fonctions de R^2 dans R comme une "nappe" 2D plongée dans un espace à trois dimensions (j'insiste sur le fait que tout ceci est très visuel et loin d'être rigoureux).

    La dérivée (appelée dérivée totale) en un point de cette "nappe" est le plan tangent approximant le mieux cette "nappe" au point considéré.

    Les dérivées partielles (car il y en a deux pour une fonction de R^2 dans R) sont deux droites tangentes au point considéré et perpendiculaires entre elles. Elle sont contenues dans le plan tangent ci-dessus (du moins quand celui-ci existe).

    -) On peut continuer ainsi en plus hautes dimensions, où on aurait alors une "volume tangent" à un volume plongé dans un espace à 4 dimensions (là cela devient difficile à visualiser). Et bien sur, il y a trois dérivées partielles qui sont trois droites tangentes au point considéré et perpendiculaires entre elles.

    Pourquoi faire une distinction entre dérivée totale et dérivées partielles ? Dans le cas 2D on pourrait se dire que les deux droites tangentes (et perpendiculaires entre elles de surcroît) définissent le plan tangent. Cela est vrai si le plan tangent existe. Il existe malheureusement des fonctions "pathologiques" pour lesquelles les dérivées partielles (le droites tangentes) existent, mais pas le plan tangent. D'où la distinction et d'où les notations différentes pour éviter tout risque d'ambiguité.

    Comme je l'ai signalé, tout ceci est très imagé et peut rigoureux. Si vous souhaitez des détails plus précis quant-à ces définitions mathématiques, n'hésitez pas à les demander. Vous pouvez aussi les trouver dans un bon livre d'analyse.
     

  9. lucas.gautheron

    Date d'inscription
    décembre 2011
    Localisation
    |Annecy> + |Cachan>
    Âge
    22
    Messages
    1 620

    Re : Lettres et signification

    Bonsoir LPFR,
    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    Bonjour.
    Le symbole n'est ni une dérivée ni une différence. C'est une "recette de cuisine": un opérateur. C'est à dire une façon abrégée de décrire ce qu'il faut faire.
    Ainsi, par exemple

    veut dire "dérivez la fonction F(x,y,z) comme si 'x' et 'z' étaient des constantes et que seulement 'y' était variable". Ce qui se lit comme "dérivée partielle de F(x,y,z) par rapport à 'y'".
    Souvent, des flemmards écrivent ça en "simplifiant" l'écriture en compliquant la lecture:

    Je ne le fais pas.
    Au revoir.
    Je souhaitais simplement ajouter, au cas où et si je ne me trompe pas, qu'une autre notation peut être rencontrée, signifiant la même chose :



    A+,
    Dernière modification par lucas.gautheron ; 06/07/2012 à 19h53. Motif: parenthèses pour la lisibilité
     

  10. Blender82

    Date d'inscription
    septembre 2011
    Localisation
    Heisenberg vous le dira... Ici et là !
    Messages
    535

    Re : Lettres et signification

    Merci sincèrement !
    Je n'en demandait pas tant, mais au moins vous avez su faire apparaître une lueur de compréhension des différences entre , et
    Cependant, cela reste encore à redéfinir.
    Cela dit, concernant , si j'ai bien compris, c'est un "plus" de précision concernant la dérivée :
    c'est en fait la dérivée de la courbe de en une ordonnée définie. Pour continuer l'illustration, cela revient à "renverser" le graphique et de déterminer la dérivée de de la courbe de la même manière qu'on le ferait avec en abscisse sauf qu'il est désormais en ordonnée et est en abscisse.
    Mais dans le cas d'une parabole simple , alors , il y a deux solutions à ou est-ce que je me trompe ?
    Et sinon, écrire revient tout simplement à écrire si j'ai bien compris...
    De plus, lorsque l'on utilise , on fait référence à une donnée infinitésimale par exemple
    Et enfin,
    Si j'ai fait des erreurs, je vous demande de me corriger
    Merci pour tout !

    Blender82

    PS : l'avantage que tout le monde réponde en même temps sans s'en apercevoir c'est que l'on a plein de versions différentes qui s'enrichissent les unes les autres
    Dernière modification par LPFR ; 07/07/2012 à 06h51.
    Rien ne vaut l'expérience... surtout quand elle est foireuse !
     

  11. FlyingDeutschmann

    Date d'inscription
    juin 2012
    Messages
    152

    Re : Lettres et signification

    Arg non. C'est pas ça. C'est vrai que si tu n'es pas habitué, les notations peuvent être trompeuses.
    Si tu relis bien les nombreux messages, tu verras qu'on parle de fonctions à plusieurs variables.

    Ce que l'on décrit, ce sont les fonctions qui décrivent des surfaces et non plus des courbes, pour le cas de deux variables.

    À une variable, la courbe est décrite par l'équation y=f(x).
    Pour que les notations soient plus claires, on se met cette fois dans un espace à 3 dimensions (x1,x2,y), et on regarde les surfaces définies par y=f(x1,x2).

    Tu vois que cette fois-ci, en partant d'un point, on peut se déplacer dans deux directions x1 et x2. La dérivée partielle désignée par correspond à la dérivée quand on se déplace dans une direction. L'idée, c'est qu'on prend une section de la surface sur un plan x2=constante, et on obtient une courbe y=f(x1,x2) où x2 reste fixé. On peut maintenant prendre la dérivée comme pour une courbe normale, ce qui est résumé par la définition :

     

  12. Blender82

    Date d'inscription
    septembre 2011
    Localisation
    Heisenberg vous le dira... Ici et là !
    Messages
    535

    Re : Lettres et signification

    J'ai fait une image de ce que j'ai compris de vos explications *
    Par contre, des fois, j'ai rencontré des tout seuls. Je vous donne un exemple tiré du livret que m'a donné LPFR sur la méca :

    Est-ce que par l'écriture on suggère que se soit en fait :

    avec la fonction définie par et que vu les circonstances (formule générale), on ne mette pas de pour garder le caractère général de la formule ?
    Merci d'avance,

    Blender82

    *partial.png
    Rien ne vaut l'expérience... surtout quand elle est foireuse !
     

  13. LPFR

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    42 773

    Re : Lettres et signification

    Re.
    Ça frise la calomnie.
    Je n'ai pas écrit:

    mais


    Qui est la définition de l'opérateur nabla.
    Et si, au lieu de choper une formule hors de son contexte, vous lissez le fascicule, vous comprendrez ce qu'il faut faire avec l'opérateur et qui n'est en aucun cas :
    (qui est une connerie).

    Je ne vais pas vous réécrire le fascicule. Vous l'avez, lissez-le attentivement.
    A+
     

  14. lucas.gautheron

    Date d'inscription
    décembre 2011
    Localisation
    |Annecy> + |Cachan>
    Âge
    22
    Messages
    1 620

    Re : Lettres et signification

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Blender82 Voir le message
    J'ai fait une image de ce que j'ai compris de vos explications *
    Par contre, des fois, j'ai rencontré des tout seuls. Je vous donne un exemple tiré du livret que m'a donné LPFR sur la méca :

    Est-ce que par l'écriture on suggère que se soit en fait :

    avec la fonction définie par et que vu les circonstances (formule générale), on ne mette pas de pour garder le caractère général de la formule ?
    Merci d'avance,

    Blender82

    *Pièce jointe 187797
    Non. C'est en fait :



    Il s'agit du gradient de F, F étant une certaine fonction de l'espace qui associe à chaque triplet (x, y, z) (coordonnées) une certaine valeur.

    A+,
     

  15. Paraboloide_Hyperbolique

    Date d'inscription
    juin 2012
    Localisation
    Liège
    Âge
    33
    Messages
    1 732

    Re : Lettres et signification

    Blender82, concernant votre dessin:

    -) La droite tangente de coefficient angulaire doit avoir la même direction que la direction y de votre repère. Vous avez dessiné

    -) Le plan contenant cette droite doit être tangent à la fonction au même point où la droite est tangente.

    Concernant l'opérateur nabla (), rien de tel qu'un petit exemple:

    Soit . Alors:




    Et:

    Dernière modification par Paraboloide_Hyperbolique ; 07/07/2012 à 15h19.
     


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