Fusée à eau, énergie stockée par compression et quantité d'eau idéale

[invited9b9018b]

Bonjour à tous,

Je cherche à déterminer la quantité optimale d'eau à insérer dans une fusée à eau pour que celle-ci aille le plus loin possible. (http://fr.wikipedia.org/wiki/Fus%C3%A9e_%C3%A0_eau)
L'idée est donc de trouver les quantités idéales d'air et d'eau à introduire dans la fusée (qui est une bouteille).
J'ai posé le problème de cette façon :
L'eau est la masse éjectée qui par conservation de la quantité de mouvement, propulse la fusée.
L'air comprimé est la source d'énergie du système.
S'il n'y a pas assez d'eau, il n'y a pas suffisamment de masse à éjecter (donc pas assez de quantité de mouvement échangée) et la propulsion n'est plus maximale
S'il y a trop d'eau en volume dans la bouteille, il y a moins d'air, donc moins d'énergie disponible.
(On néglige les effets de propulsions dus à l'air).

On considère le système libre (pas de gravité), parce que corrigez moi si je me trompe, ça ne changera pas les résultats de l'étude.
L'énergie mécanique se conserve :

A l'état initiale l'énergie est sous forme potentielle uniquement, due à la compression de l'air.
Ma première question est donc : comment déterminer l'énergie potentielle disponible ? J'ai fait quelques recherches, cela dépend apparemment beaucoup du processus de compression (dans notre cas elle se fait à la pompe à vélo)
Pour ne pas rester bloquer, j'ai posé avec :
P = pression
V_a = Volume d'air
V = Volume de la bouteille
V_e = Volume d'eau inséré

L'énergie cinétique est la somme de l'énergie cinétique due à la fusée de masse M à vide et de vitesse v à l'état final + l'énergie cinétique de l'eau éjectée à l'état final toujours (masse , vitesse d'éjection notée u)
D'où (est-ce bien correct ?)

D'où (1)

Il reste à exprimer en fonction de v, et c'est possible, l'étude est faite dans la manuel de LPFR et qu'il me corrige si je me trompe, on peut appliquer ici son résultat, càd :


Mais et on a :



En remplaçant dans (1) on obtient :


Cette expression est un peu compliqué et plutôt que de résoudre , je l'ai calculé avec des valeurs réalistes de M, P, V, etc.
Dans le cas suivant :
M = 0.1 kg
P = 10 bar
V = 1 L

Je trouve cette courbe au final :
XXXXXXXXXX



La vitesse (v) est en ordonnée (en m/s)
Le volume d'eau est en abscisse (en L)

L'étude donne donc un extremum à 15 cL environ dans ces conditions. Le problème, c'est qu'empiriquement, nous avons déterminé que ce volume idéal était de 1/3 de celui de la bouteille, donc un peu plus de 30 cL.
Les valeurs de vitesse sont élevées, mais on ne cherche pas à les déterminer avec exactitude. Encore une fois, on souhaite résoudre , et tant que les approximations ne changent pas de façon significative la solution de cette équation, alors ça n'a aucune importance.

D'où ma deuxième question : où sont mes erreurs ?

Merci d'avance et désolé pour ce post un peu long.
Et n'hésitez pas à me le dire si je suis complètement à côté de la plaque. Il était tard quand j'ai fait ça hier soir


A+,