adimensionner un systeme différentiel (comme en méca fluide?)

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

j'ai un système à résoudre (numériquement) qui ressemble à ceci (T=température, a=coeff de diffusion*surface commune à T1 et T2) :



mon soucis est que j'ai (plusieurs ordre de grandeur) et donc je pense que numériquement ça va poser problème...?

Du coup j'aimerai pouvoir addimentionner tout ceci me je ne sais pas comment m'y prendre, ça me rappel mes cours de mécanique des fluides
où je me rappel que l'on addimentionnait toujours nos systèmes mais le soucis est que je ne sais pas trop comment faire ici...

Pourriez vous me dire comment vous feriez ?

merci
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[membreComplexe12]

Excusez moi, j'ai fais une erreur, mon système n'est pas :



mais :



dans ce système j'ai et qui sont des "données normalisées" c'est à dire proche de 1.

par contre j'ai et c'est cela qui me pose problème

[obi76]

Bonjour,

adimensionner sert lorsque numériquement vous avez des variables décrivant des phénomènes différents (donc normalisables par des nombres différents). Par exemple : si vous avez une très grande vitesse dans un tout petit canal, vous pouvez normaliser par une vitesse élevée et une longueur faible (et relier les deux par le Reynolds).

ici, si vous avez deux températures avec plusieurs ordres de grandeur entre elles, adimensionner ne donnera rien (puisque vous normalisez chacune d'entre elles par la même valeur, l'ordre de grandeur restera identique, et si vous adimensionnez chacune d'entre elle par une valeur différente, vous allez vous retrouver avec le même problème sur les coefficients de diffusion). Maintenant, qu'est ce que vous appelez plusieurs ordre de grandeur ?

[membreComplexe12]

merci Obi, je comprends ce que tu veux dire.
ici j'ai essayé de simplifier mon problme car ça ressemble à la diffusion type température mais en réalité je bosse sur
des equations de chimie --> T2 peut etre dans des cas extremes =1e30 et T1=0

vu que ce qu'il y a dans ma parathèse est adimensionné, je n'aurais pas de problèmes tu penses ?

ps: au fait dans mon cas Z1=Z2 (je ne sais pas si c'est utile)

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Re,

j'ai déjà touché un peu à un code de physique des plasmas 0D, et effectivement, on a des ordres de grandeur qui vont de 10-23 à 10+21. On n'a pas le choix. Le seul moyen, c'est de trouver des solveurs extrêmement robustes et avec un très très bon préconditionnement (pour des méthodes implicites).

[membreComplexe12]

merci Obi pour ta réponse très intéressante.
---> aurais tu des noms de solveurs en tête pour ce type de choses ?
---> les préconditionneurs j'en ai entendu parlé pour la résolution de systemes lineaires mais pas pour des systèmes différentiels, sais tu comment ça fonctionne ?
---> dernière question : pourquoi forcement des méthodes implicites ? (si je prends une méthode explicite quelle sera la conséquence?)

je et remercie pour ton aide

[obi76]

Re,

les préconditionneurs te permettent d'"arranger" les matrices à inverser. En général, on préconditionne (on se débrouille par exemple pour que les vecteurs propres soient les "plus" orthogonaux et normaux possibles) avant de résoudre (ça facilite son inversion).
Pour ça, tu as VODE et PASTIX (les deux premiers qui me viennent en tête), pour les préconditionneurs tu en as une flopée (SCOTCH, MUMPS etc.), et savoir les manipuler est un art...

Ca, c'est pour les méthodes implicites, pour les méthodes explicites je ne pense pas dire de bêtises en disant qu'à un moment ou un autre de la résolution, tu vas obtenir une combinaison linéaire des éléments que tu veux résoudre, et à ce moment là la précision machine ne te permet pas de conserver ET les 10-23 ET les 10+21.

Je ne sais pas dans quoi tu t'aventures mais à part que ce soit pour un projet où tu as (beaucoup) de temps, ça me parait difficile.

PS : pour les méthodes différentielles on passe par la Jacobienne, c'est ce que fait DVODE. Si tu veux faire de l'évolution d'espèces en présence de réactions, la meilleure librairie que je connaisse est CHEMKIN.

[coussin]

dans ce système j'ai et qui sont des "données normalisées" c'est à dire proche de 1.

Bah résoudre pour les fonctions T1/R1 et T2/R2 au lieu de T1 et T2…

[obi76]

Non, sinon tu vas avoir des R1/Z2 et des R2/Z1 qui apparaissent, ça ne fait que décaler le problème autre part...

[coussin]

Apparemment Z1=Z2 (message#4). C'est petit ou grand Z1 ? À mon avis, ça s'arrange (c'est qu'une constante multiplicative).

[obi76]

Certes, mais si tu normalise, le but c'est d'avoir des R1 et R2 du même ordre de grandeur que T1 et T2. Donc si Z1 et Z2 sont du même ordre de grandeur, R1/Z2 et R2/Z1 auront plusieurs ordres de grandeur d'écart...

[coussin]

Si je pose , et , , le système est
(je sais pas faire les matrices mais vous voyez ce que je veux dire…).
Vue la matrice M (que j'ai la flemme d'écrire ), exp(M*t) est analytique. Tout à fin, on peut effectivement faire R_1<<R_2 (ou l'inverse, je sais pas) dans exp(M*t) pour avoir quelque chose d'exploitable numériquement

[coussin]

La matrice M est mal conditionnée parce que y des R1 et des R2 dedans. C'est donc difficile numériquement de calculer exp(M*t). Par contre, M est tellement simple que exp(M*t) est exacte. Je pense qu'on peut donc calculer exp(M*t) analytiquement et seulement après mettre R1<<R2
Mais je sais pas…

[stefjm]

---> les préconditionneurs j'en ai entendu parlé pour la résolution de systemes lineaires mais pas pour des systèmes différentiels, sais tu comment ça fonctionne ?

Bonsoir,
Si on passe en Laplace, le système différentiel devient un système linéaire. (si on n'aime pas les exponentielles de matrice.)
Cordialement.

[obi76]

Là, on se place dans une résolution numérique, pas analytique (si j'ai bien compris la question). Evidement, s'il y a une solution analytique c'est mieux.

Il suffira que l'un des coefficients ne soit pas constant pour qu'il n'y ait pas de solution analytique (triviale du moins).

[membreComplexe12]

merci pour toutes vos réponses !!!
oui en effet il y a une solution analytique, je voulais juste savoir comment faire numériquement
car je voudrais comparer mes deux solutions mais je n'étais pas sur numeriquement d'y arriver.