Accélération de la terre variable !!! Au secours !!!

[Sephiralo]

Bonsoir à tous, ou plutôt Bonjour... ^^

Je suis en L1 physique et je me pose une sacrée question à laquelle je ne trouve de réponse ni sur le forum, ni sur google, ni dans les livres...

Pour simplifier on prend la terre comme masse ponctuelle de masse m, et un objet quelconque qui subit son attraction, sans vitesse initiale, éloigné de h.
Et bien sur avec a=g=Gm/r², r étant la distance qui les sépare, et qui est donc h à l'instant initial...

En dérivent et tout et tout, on trouve y(t)=-gt²/2 + h
Hors, plus on se rapproche, plus l'accélération est grande puisque r diminue, g augmente, ce qui fait donc que l'accélération est variable, et on obtient le système d'équation suivant :

y(t)=-g(y)t²/2 + h
g(y)=Gm/y(t)²

Le fait est que je voudrais obtenir une équation du type y(t), en tenant compte de l'accélération variable, cela devrait alors donner une équation de courbe dont la courbe part de h en t=o, qui diminue doucement, puis de plus en plus vite jusqu'a atteindre 0...
Mais je n'arrive pas malgré de nombreux essais a trouver cette équation, j'ai éssayé énormément de manipulations sans jamais y arrivé, et je ne trouve rien sur internet :/

Merci d'avance à celui qui voudra bien m'éclairé ^^

Bonsoir !
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[calculair]

Bonjour

La force d'attraction est bien G M m /R²

en supposant la masse M >>>>>m on suppose la terre immobile

l'application du PFD on obtient G M m /R² = m a

a = G M /R²

a R² = GM

en derivant / au temps

da/dt + R² + 2R dR/dt = 0

en multipliant les 2 membre par a

a da/dt + a R² + 2Ra dR/dt = 0

a da/dt + GM = - 2 R a dR/dt

a da/dt + GM = - 2 GM /R dR/dt = -2 G M / R [ da/dt + R²] * 1/( 2R) = GM [ da/dt + R² ]

a da/dt + G M = GM [ da/dt + GM /a ]

Il reste a integrer cette equa dif

[LPFR]

Bonjour.
Dans un problème où l'accélération change en permanence, vous ne pouvez pas utiliser des formules valables uniquement pour des accélérations constantes (comme y(t)=-g(y)t²/2 + h).
Il faut écrire la deuxième loi de Newton (F = ma) et intégrer deux fois. Mais comme on connait la dépendance de l'accélération en fonction de la position et non en fonction du temps il faut se débrouiller pour intégrer par rapport à la distance et non par rapport au temps.
Regardez le bas de la page 1-3 et le haut de 1-4 de ce fascicule:
http://www.sendspace.com/file/ttrwye Cliquez sur: Click here to download from freespace.
Vous obtenez le temps en fonction de la position (à condition que la dernière intégrale soit intégrable).
Et vous croissez les doigts très fort pour que, à partir de cette équation, on puisse sortit 'x' en fonction du temps (ce qui est loin d'être garanti).
Au revoir.

[Sephiralo]

MERCI pour vos réponses !!! ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sephiralo]

Donc, si j'ai compris le pdf de méca :

a= dv/dt
dv=adt
v=dx/dt
vdv=adt dx/dt
∫vdv=∫adx

Avec a(x)=Gm/x², et pas de vitesse initiale.

v²/2=∫Gm/x² dx
v²/2=Gm∫1/x² dx
v²/2=Gm(-1/x+C) avec C=h (hauteurde départ)
v²/2=Gm(-1/x+h)

Et donc finalement on obtiendrais :
v(x)=√(2Gm(-1/x+h) ) et d'après ma calculatrice sa a plutôt l'air cohérent !

Ai-je juste déjà à ce point la ? (avant de me lancer dans l'accélération...)

[LPFR]

Bonjour.
Je ne comprends rien à vos formules. Peut-être qu'il manque des parenthèses car (-1/x+h) ne tient pas la route côté dimensions.
Et ça ne colle pas pour le départ où on devrait trouver une vitesse nulle.
Avez-vous remarqué que dans ce fascicule il n'y a pas une seule intégrale indéfinie (primitive) ? Toutes les intégrales en physique sont des intégrales définies entre deux bornes d'intégration.qui correspondent chacun à une situation physique donnée.
Au revoir.

[calculair]

Bonjour

1/2 V(x )² = somme de X = H à X ( GM 1/X² dx ) = - GM ( 1/X - 1/H )

Donc, si j'ai compris le pdf de méca :

a= dv/dt
dv=adt
v=dx/dt
vdv=adt dx/dt
∫vdv=∫adx

Avec a(x)=Gm/x², et pas de vitesse initiale.

v²/2=∫Gm/x² dx
v²/2=Gm∫1/x² dx
v²/2=Gm(-1/x+C) avec C=h (hauteurde départ)
v²/2=Gm(-1/x+h)

Et donc finalement on obtiendrais :
v(x)=√(2Gm(-1/x+h) ) et d'après ma calculatrice sa a plutôt l'air cohérent !

Ai-je juste déjà à ce point la ? (avant de me lancer dans l'accélération...)

[LPFR]

Bonjour Calculair.
D'accord, mais il ne faut oublier que dans la formule:
GM ( 1/X - 1/H )
Aussi bien 'X' que 'H' son des distances au centre de la terre.
Cordialement,

[Sephiralo]

Oui en effet LFPR, v(h) devrait être nul et dans ma formule non...

Bon je vais tout refaire avec des bornes cette fois

[calculair]

Bonjour

D'ailleurs on a l'habitude d'appliquer la formule

Vitesse de chute = Racine ( 2 g h ) pour des petites chutes h <<< R ou V² = 2 g h

Or on a trouve V² = 2 GM ( 1/X - 1/h )

en posant 1/X = 1/R et 1/h = 1/ ( R+h)

V² = 2 GM ( R+ h - R / ( R² + Rh) )

V² = 2 GM ( h / R²+ Rh)

comme R² >>> Rh alors V² = 2 GM /R² h

comme GM/R² = g pour R = rayon terrestre, on retrouve bien la formule utilisée pour les chutes standards ....

[Sephiralo]

En refesant le calcul précédent avec des bornes d'intégration, je trouve :

v(x)=√(2Gm((1/x)-(1/h)))

Et cette fois sa marche, v(h)=0 !!!

Et le graphe correspond, plus on s'approche, plus la vitesse augmente. Presque de façon exponentielle.
Merci LFPR !!!

Bon je pense que je peux m'attaquer à l'accélération maintenant ^^

[Sephiralo]

Donc, pour trouver la position en fonction du temps :

v=dx/dt

dt=dx/v (j'intègre, puis j'isole x, et si je ne peux pas isoler x, je trace t(x) et je fais une bijection pour récupéré x(t))

∫dt(entre 0 et t)=∫dx/v(x) (entre h et x)

t=(1/√(2Gm))*∫dx/√((1/x)-(1/h)) (entre h et x)

t=(1/√(2Gm))*∫dx*√(hx/(h-x)) (entre h et x)

mais la il y à un problème, pour x=h sa marche pas...

[calculair]

Bonjour,

J'ai regardé la t^te que cela a.... C'n'est pas evident...


Je ne sais pas trouver la solution de l'equa dif que j'ai trouvé

[calculair]

Bonjour,

Tu cherches quoi ?

Le temps de chute ou l'acceleration ?

[Sephiralo]

Bonjour,

Tu cherches quoi ?

Le temps de chute ou l'acceleration ?

Je cherche une fonction qui me donnerai la position de l'objet en fonction du temps : x(t)=... en tenant compte de l'accélération qui varie ^^
Et la j'ai un problème pour intégrer la formule que j'ai mise plus haut.

PS : dans mon précédent message, ce que j'ai écrit en orange, ce sont les étapes par lesquelles je compte passé pour arriver à mon résultat finale, donc,je suis bloqué a la première étape ^^

[calculair]

Bonjour

La position du mobile est X = h - Vt ( ou V est fonction de X )

X = (2 GM) ^1/2 ( 1/( h-Vt) - 1/h) ^1/2


X = (2 GM)^1/2 [( h - ( h-Vt) ) / ( h² - Vht)]^1/2


Je ne sais pas on cela me même,mais je vais prendre mon repas ....

[Calvert]

Salut !

J'avais donné la solution d'une équation différentielle de ce type dans ce poste, si je comprends bien ton problème.

[calculair]

C'est beau !!!

Salut !

J'avais donné la solution d'une équation différentielle de ce type dans ce poste, si je comprends bien ton problème.

[Sephiralo]

Salut !

J'avais donné la solution d'une équation différentielle de ce type dans ce poste, si je comprends bien ton problème.

Bonsoir Calvert ^^

En effet sa ressemble à mon problème sans répondre à la même question si j'ai bien compris.

Apparemment vous répondiez à la question du temps de chute, donc vous n'avez que la position initiale à prendre en compte, votre ri.
Or moi je m'intéresse à la position à chaque instant !

Peut-être que c'est moi qui ne comprends rien mais je ne voit pas comment transposer votre résultat sur le miens
Parce que si je part de votre formule finale, on ne peut pas la transformer pour avoir un x(t)=.
Mais je suis peut être idiot, à vous de m'éclairer de votre savoir

[Calvert]

Il faut partir de la solution générale qui est :



avec



On peut donc trouver facilement une expression pour t(r), mais il n'est pas possible d'obtenir une solution pour r(t) exprimable avec des fonctions usuelles, je pense.

[Sephiralo]

I/ Il faut partir de la solution générale qui est :



avec



II/ On peut donc trouver facilement une expression pour t(r), mais il n'est pas possible d'obtenir une solution pour r(t) exprimable avec des fonctions usuelles, je pense.

Re-bonsoir ^^

I/ Je ne comprends pas pourquoi des notions de trigonométrie interviennent dans un problème sur un seul axe, peux-tu m'expliquer comment tu les a introduites ?
Sinon ok, je peux avoir t(r)
II/ Ce n 'est pas grave, si on a t(r), une bijection sur l'intervalle qui le permet et on obtient r(t) ^^

[Calvert]

Je ne comprends pas pourquoi des notions de trigonométrie interviennent dans un problème sur un seul axe, peux-tu m'expliquer comment tu les a introduites ?

Il est assez courant, quand on a une équation différentielle qui contient un rapport de variable, dont on sait qu'il sera borné par l'intervalle [0,1], de substituer une fonction trigonométrique (cos ou sin), pour voir si ça améliore les choses... Ici, c'est le cas, puisque ça permet de résoudre cette équation. Dans le cas d'un mouvement vers l'extérieur (avec une vitesse initiale), il faudrait plutôt utilise un cosh ou sinh.

Il faut aussi se souvenir qu'ici, j'ai mis comme condition initiale que la vitesse est nulle en r_i.

[LPFR]

Bonjour.
La solution du problème a été établie par Sephiralo au post #12.
On obtient (si on arrive à intégrer) 't' en fonction de 'x'.
Contrairement à ce que Sephiralo a conclu, il n'y a pas nécessairement de problème pour x-->h. Car si l'expression diverge, les limites de l'intégrale se rapprochent. Il est immédiat de démontrer que l'intégrale ne diverge pas et que, au contraire, elle tend vers zéro pour x-->h
Au passage, cela démontre combien il est plus intéressant d'intégrer entre des bornes au lieu d'utiliser des primitives avec des constantes à déterminer.
Au revoir.

[Sephiralo]

Bonjour.
La solution du problème a été établie par Sephiralo au post #12.
On obtient (si on arrive à intégrer) 't' en fonction de 'x'.
Contrairement à ce que Sephiralo a conclu, il n'y a pas nécessairement de problème pour x-->h. Car si l'expression diverge, les limites de l'intégrale se rapprochent. Il est immédiat de démontrer que l'intégrale ne diverge pas et que, au contraire, elle tend vers zéro pour x-->h
Au passage, cela démontre combien il est plus intéressant d'intégrer entre des bornes au lieu d'utiliser des primitives avec des constantes à déterminer.
Au revoir.

Bonjour ^^

D'accord LPFR, mais quand j'intègre la fonction, d'après un calculateur de primitive en ligne (parceque cette fonction est assez compliquée quand même ^^'), on obtient la primitive suivante :

1305050124045475511154773.jpg
Mais quand x-->h, il y a bien un problème non ?
Pour les deux dernières composantes du numérateur, on aurait alors h√(h²/0) - h√(h²/0), je veux bien croire qu'avec les limites, c'est possible, mais comment mettre cela en forme dans le calcul ?
J'ai du mal à voir sa. Serait-ce :

[primitive] x¦lim(x→h)=⁡x

1305050157205475511154813.jpg+ h^2 *(-2h√(h) + h^(3/2)) / h^2

Dans ce cas, mon problème serait terminé, je multiplie ce résultat par la constante que j'ai sorti tout à l'heure, je choisit h (un petit tour sur excel histoire de rendre sa plus pro plutôt que de rechanger la valeur de h à chaque fois), je trace t(x), une bijection sur l'intervalle qui le permet et voilà, j'aurais x(t) !
Correct ?

[LPFR]

Re.
Vous êtes franchement mauvais quand il s'agit de calculer les limites d'une forme indéterminée.
Prenez h√(hx/(h-x)) - x√(hx/(h-x)).
Peut-être qu'avant de transformer le dénominateur en zéro vous pouvez faire:

h√(hx/(h-x)) - x√(hx/(h-x))= (h-x) √(hx/(h-x)) = √(hx(h-x)) qui tend vers zéro quand x --> h.

Et vous retombez dans les problèmes habituels des primitives et de détermination de constantes. Les profs de physique actuels sont une calamité de n'enseigner que la méthode non physique. Ils feraient mieux de vous apprendre à calculer des limites.
Le résultat d'une intégrale entre les bornes 'a' et 'b' est: la primitive au point 'b' moins la primitive au point 'a' (et on ne mentionne pas le mot "constante").
A+