Mouvement centrifuge sur un disque tournant

[kdjender]

Bonsoir, voila j'aimerai vous soumettre cet exercice que je n'arrive pas à résoudre, si c'est possible de m'aider ça serait formidable.
Honnêtement j'ai fouillé tout le web pour trouvé le mouvement d'un corps en rotation sur un plan, qui n'est pas fixé sur ce dernier et qui est soumis à la force centrifuge. Alors bien sur, je sais pertinemment que si un corps est fixé, cette dernière est égale à m.V^2/R avec R=cst, mais le problème c'est lorsque le corps est en rotation est non fixé sur le plan, évidement le R sera variable et ce corps sera non seulement en rotation mais il aura tendance à s’éloigner du centre à cause de la force centrifuge.
Voila je vous ai tout dit et merci. ^^



Soit un disque de centre O et de rayon R, fermé sur ses rebords (voir la figure), tourne au tour d'un axe verticale Z à une vitesse angulaire Oméga. On pose à une distance r du centre O, un corps M de masse m quelconque et de dimensions négligeable.
En sachant que ce corps M n'est ni fixé ni collé sur le disque :
1- Décrire son mouvement en donnant sa trajectoire suivant les axes X et Y, sa vitesse et son accélération, si on néglige les frottements sur la surface du disque.
2- Décrire son mouvement (même travail), si on tient compte des frottements avec un coefficient de frottement C.
3- Décrire son mouvement (même travail encore une fois), si ce corps M est enfin de compte une sphère de diamètre D et de moment d'inertie I et qu'elle tourne sans glissement sur la surface du disque.
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[Resartus]

Le corps subit seulement une force de réaction exercée par le plateau, dont la composante horizontale est opposée à la vitesse relative au point de contact et majorée par f.P.
1er cas, aucune force de frottement. Le corps reste tout bêtement immobile par rapport au repère fixe : le fait qu'il soit sur un plateau tournant ne change rien
2eme cas la force de frottement va essayer d'amener le corps à devenir fixe par rapport au plateau. Deux possibilités : soit il finit par s'arrêter, par rapport au plateau et tourner avec lui, soit la trajectoire s'éloigne indéfiniment, car la réaction du support n'est plus suffisante pour lui imposer une trajectoire circulaire
Le 3eme cas est le plus intéressant : après un moment de glissement, la boule va acquérir une trajectoire circulaire. Contrairement à ce qu'on pourrait croire, elle ne part pas du tout à l'infini...

On peut traiter le problème soit en restant dans le référentiel fixe, soit en passant dans le référentiel mobile en rotation.
Dans ce cas il faut prendre en compte en plus de la force de frottement la force centrifuge et la force de coriolis.
Il vaut mieux passer en coordonnées polaires et on obtient des systèmes d'équations différentielles linéaires

Mais le régime transitoire du cas rotation (la sphère glisse d'abord sur le plateau avant d'être en roulement) est très ardu car aux r et theta de la position, il faut rajouter l'orientation de la sphère (3 variables). Le régime permanent, en roulement pur, n'est déjà pas évident.

Il me semble me souvenir que le cas glissement est plus facile à traiter en coordonnées mobiles, et le cas rotation en coordonnées fixes. Mais sans garantie. Bon courage...

[kdjender]

justement le 2e cas m’intéresse beaucoup et plus précisément la 2e possibilité où le solide s’éloigne du centre de rotation, Est ce que c'est possible d'avoir des équations de la trajectoire ou de la vitesse, car c'est ce que je recherche en fait.

[Dynamix]

Salut
Il faut prendre en compte l' accélération du disque .

[A voir en vidéo sur Futura]

[kdjender]

La vitesse angulaire Oméga est supposée constante.

[Resartus]

Si c'est juste le critère de décrochage qui vous intéresse, c'est très facile : dans le repère mobile, le corps subit une force centrifuge égale à m.omega²r et une force de frottement qui s'y oppose mais ne peut dépasser f.mg. Pour que l'objet finisse par s'arrêter il faut qu'au moment de l'arrêt r soit inférieur à fg/omega²

Là où cela devient plus compliqué, c'est si on veut les équations complètes du mouvement à partir du moment où on pose l'objet
il faut alors prendre en compte également l'accélération de coriolis

Cela donne l'équation vectorielle suivante :
d²M/dt²=omega².M-2omega(Vectoriel)dM/dt -(fg/|dM/dt|).dM/dt

Le tout à passer en coordonnées polaires. Si vous (ou un autre membre du forum) avez le courage...

[LPFR]

Bonjour.
Je me demande quel est le niveau de vos études pour qu’on vous inflige ce genre d’exercice. Car il n’est pas simple.
Je suis d’accord avec Resartus à propos de la complexité du 2.
Il y a deux phases : la première, dans laquelle l’objet glisse avec frottement et qui peut, éventuellement perdurer. Et une autre dans lequel l’objet s’arrête par rapport au support et tourne circulairement.
Pour la 3 c’est encore pire.
D’abord la bille ne peut pas commencer à rouler sans glisser. Il faut une première phase avec glissement et frottements. Puis une deuxième partie avec roulement sans glissement.
Ici il faut tenir compte du moment cinétique, et de comment le couple produit par a force sur le tapis modifie son orientation et son module.

L’étude de la première phase du mouvement d’une boule de bowling lancée sans rotation, est très instructive.

Avant de se lancer sur une table tournante il faut maîtriser la première partie du mouvement d’une bille de billard, quand elle part avec une rotation autour d’un axe quelconque et qu’elle commence par glisser.
Il y a quelques années un jeune s’est lancé sur cette étude et je souviens de l’avoir aidé.

Au revoir.

[Resartus]

Les équations sont peut-être un peu moins ardues en repère fixe : on a l'équation d²M/dt²=fg.u où u est le vecteur unitaire de la vitesse v relative plateau%objet, sachant qu'on a v=omega.vectoriel.M-dM/dt

Mais à la réflexion, ces équations ne sont pas du tout linéaires, car la norme du vecteur v va contenir le carré de M et celui de dM/dt
Je ne me souviens plus comment on faisait pour intégrer cela : tout ceci est bien loin et mes neurones ne sont plus ce qu'ils étaient..: il y a peut-être un "miracle" en coordonnées polaires qui fait apparaitre un changement de variable évident....
Cela ne m'étonne pas qu'il n'y ait pas de réponses sur Internet car on ne fait pratiquement plus ce type d'exercice de mécanique aujourd'hui
Je serais curieux de relire la solution quand vous l'aurez reçue

[calculair]

Bonjour,

J'ai eu fait un exercice de ce type en TP.... C'était une bille sphérique a la place du point M

Je crois me souvenir que la bille a finalement une trajectoire circulaire....

J'avoue que ce mtin j'ai un peu la flemme de me remettre a réfléchir .... C'est qu'à& priori c'est un peu délicat...

[kdjender]

Bonjour et merci déjà pour toute vos réponses, mais honnêtement le plus urgent pour moi est de connaitre le 2e cas ou il y a frottement, pour simplifier les choses, on va supposer que le disque est infini et que la masse M soit une pièce de monnaie qui a été déposé non pas pendant le mouvement du disque mais au repos, et qu'il y a eu éloignement du centre de rotation, un peu comme sur la vidéo ==> http://phymain.unisciel.fr/des-piece...tourne-disque/. Voila, j'aimerai juste connaitre les équations de la trajectoire, vitesse et accélération qui entrent en jeu. Merci

[calculair]

Bonjour?

Je dois partir ?

mais votre affaire me fait penser à Corriolis

Dans le calcul doit on introduire aussi l'acceleration angulaire du disque tournant ???

Mille excuses ne ne pouvoir rester ....

[LPFR]

Bonjour et merci déjà pour toute vos réponses, mais honnêtement le plus urgent pour moi est de connaitre le 2e cas ou il y a frottement, pour simplifier les choses, on va supposer que le disque est infini et que la masse M soit une pièce de monnaie qui a été déposé non pas pendant le mouvement du disque mais au repos, et qu'il y a eu éloignement du centre de rotation, un peu comme sur la vidéo ==> http://phymain.unisciel.fr/des-piece...tourne-disque/. Voila, j'aimerai juste connaitre les équations de la trajectoire, vitesse et accélération qui entrent en jeu. Merci

Re.
Dans ce cas vous avez deux phases.
- la pièce ne glisse pas et sa vitesse de rotation est celle du disque. Son rayon de rotation est constant. Ceci dure jusqu’à ce que la force centripète nécessaire soit plus grande que la force de friction (F = µ Mg).

- à partir de ce moment la pièce glisse et la force de friction F applique sur la pièce a la direction opposée à la vitesse de la pièce par rapport au disque. Cette direction n’est ni radiale ni tangentielle et est plutôt délicate à exprimer. Il faut choisir si on travaille en cartésiennes ou polaires. Chaque choix a ses avantages et inconvénients. Essayez de faire un choix et d’attaquer le problème. (Nous ne le ferons pas à votre place).

Nota, je prefère faire le problème vu dans le référentiel du laboratoire. Çà évite de s'emm.. avec Coriolis et de devoir passer au repère du labo à la fin.

Vous n’avez pas répondu à ma question sur le niveau de vos études.
A+

[Dynamix]

Son rayon de rotation est constant. Ceci dure jusqu’à ce que la force centripète nécessaire soit plus grande que la force de friction (F = µ Mg).

La force centripète plus la force tangentielle vu que le disque est accéléré .

[LPFR]

Re.
J'accélère doucement pour ne pas m'emm...
A+

[kdjender]

Re.
Dans ce cas vous avez deux phases.
- la pièce ne glisse pas et sa vitesse de rotation est celle du disque. Son rayon de rotation est constant. Ceci dure jusqu’à ce que la force centripète nécessaire soit plus grande que la force de friction (F = µ Mg).

- à partir de ce moment la pièce glisse et la force de friction F applique sur la pièce a la direction opposée à la vitesse de la pièce par rapport au disque. Cette direction n’est ni radiale ni tangentielle et est plutôt délicate à exprimer. Il faut choisir si on travaille en cartésiennes ou polaires. Chaque choix a ses avantages et inconvénients. Essayez de faire un choix et d’attaquer le problème. (Nous ne le ferons pas à votre place).

Nota, je prefère faire le problème vu dans le référentiel du laboratoire. Çà évite de s'emm.. avec Coriolis et de devoir passer au repère du labo à la fin.

Vous n’avez pas répondu à ma question sur le niveau de vos études.
A+

Re bonjour, je suis en 2e année licence et pour être honnête je suis un peu faible en mécanique rationnelle.

Je préfère travailler en coordonnées cartésiennes avec un repère fixe (non lié) au disque.

Vous avez dit que la trajectoire relative par rapport au disque n'est ni tangentielle ni radiale, mais est ce juste de dire que ce mouvement relatif est du à la force centrifuge Fc de sorte que :

Fc=m.V(t)^2/r(t) , telle que le rayon est variable selon le temps et que la vitesse V(t) dépende du rayon r(t) implicitement (V(t)=r(t).oméga) ?

De la, j'ai pensé à dire que cette force radiale (centrifuge) nous donne :
==> Fc=m.ar
==> m.V(t)^2/r(t)=m.ar avec ar l'accélération inertielle sur le sens radiale,
puis par simplification V(t)^2/r(t)=ar et puisque V(t)=r(t).oméga
==> r(t).oméga^2=ar
==> ar=r(t).oméga^2
Puis par intégration Vr(t)=Vr(0)+r(t).oméga^2.delta T avec Vr(t) la vitesse relative suivant le sens de la force centrifuge.


.....euh suis je juste jusque la, ou je dois aller me coucher ?

[Dynamix]

Ton calcul va à peu près bien pour les deux premières pièces qui ont un mouvement quasi radial par rapport au disque . Elles restent dans la bande jaune .
Mais tu ne peut pas expliquer le mouvement de la troisième pièce sans prendre en compte l' accélération d' entrainement .
La troisième pièce passe d' une bande jaune à l' autre , soit 90°

[kdjender]

Ton calcul va à peu près bien pour les deux premières pièces qui ont un mouvement quasi radial par rapport au disque . Elles restent dans la bande jaune .
Mais tu ne peut pas expliquer le mouvement de la troisième pièce sans prendre en compte l' accélération d' entrainement .
La troisième pièce passe d' une bande jaune à l' autre , soit 90°

Oui donc en gros mon calcul n'est pas bon pour les 3 pièces, puisque la seule différence entre ces pièces n'est que leur éloignement par rapport au centre.

[LPFR]

Re.
Si vous restez dans le repère inertiel du labo, vous n’avez plus de force centrifuge. Cette force « fictive » n’apparaît que quand on calcule sur un repère accéléré.
Placez-vous dans une situation générale avec l’objet quelque part (x, y) ou (r, thêta). Tracez la vitesse (quelconque) de l’objet et celle du disque sous l’objet. Trouvez la vitesse de l’objet par rapport à celle du disque (tout cela en dessin. C’est à partir du dessin que vous ferez les calculs). Puis dessinez la force de friction en direction opposée à la vitesse relative de l’objet.
Si vous préférez travailler en cartésiennes, tracez les deux composantes, puis les deux composantes de la force de friction, et vous aurez de quoi écrire la seconde loi de Newton pour chaque coordonnée.

Il faut faire un bon (la beauté n’est pas nécessaire) dessin, clair. Et comme j’ai de l’expérience, choisissez les angles loin de 0, 45° et 90°, cela vous évitera de confondre les sin et les cos. N’hésitez pas à refaire le dessin s’il n’est pas clair. Vous gagnerez du temps.
A+

Édit:Notez que si le disque est accéléré, la direction de la différence de vitesse entre l’objet et le disque dépendra du temps.

[Resartus]

Bizarre : après avoir dit que vous voulez travailler en cartésien dans le repère fixe, vous écrivez des équations dans le repère mobile (puisque vous parlez de force centrifuge), et en polaire, puisque vous ne parlez que de l'accélération radiale!

Une manière pratique mais approximative de résoudre l'équation est de supposer, comme le dit LPFR, que la force de coriolis est négligeable (ce que vous avez fait en l'oubliant purement et simplement!), et que la balle a suffisamment été entraînée tangentiellement par le plateau pour que le frottement soit devenu radial et opposé au mouvement (et dans ce cas, la composante tangentielle du mouvement est simplement nulle dans le repère mobile)
Dans ce cas, l'équation devient plus simple d²r/dt=omega².r-fg
(Notez quand même que cette équation n'est pas ce que vous avez écrit, car il faut prendre en compte le frottement)

[kdjender]

Re.
Si vous restez dans le repère inertiel du labo, vous n’avez plus de force centrifuge. Cette force « fictive » n’apparaît que quand on calcule sur un repère accéléré.
Placez-vous dans une situation générale avec l’objet quelque part (x, y) ou (r, thêta). Tracez la vitesse (quelconque) de l’objet et celle du disque sous l’objet. Trouvez la vitesse de l’objet par rapport à celle du disque (tout cela en dessin. C’est à partir du dessin que vous ferez les calculs). Puis dessinez la force de friction en direction opposée à la vitesse relative de l’objet.
Si vous préférez travailler en cartésiennes, tracez les deux composantes, puis les deux composantes de la force de friction, et vous aurez de quoi écrire la seconde loi de Newton pour chaque coordonnée.

Il faut faire un bon (la beauté n’est pas nécessaire) dessin, clair. Et comme j’ai de l’expérience, choisissez les angles loin de 0, 45° et 90°, cela vous évitera de confondre les sin et les cos. N’hésitez pas à refaire le dessin s’il n’est pas clair. Vous gagnerez du temps.
A+

Ce n'est pas un TP que je compte faire, mais de la simulation numérique (modélisation), je dois donc décrire le mouvement d'une particule sur un disque tournant. Donc les dessins ne me seront pas utiles, puisque j'ai besoin d’équations pour pouvoir programmer. Je commence à désespérer !

[LPFR]

Ce n'est pas un TP que je compte faire, mais de la simulation numérique (modélisation), je dois donc décrire le mouvement d'une particule sur un disque tournant. Donc les dessins ne me seront pas utiles, puisque j'ai besoin d’équations pour pouvoir programmer. Je commence à désespérer !

Re.
Les dessins vous servent à écrire les équations correctement. ZUT !
J'arrête.
A+

[kdjender]

Bizarre : après avoir dit que vous voulez travailler en cartésien dans le repère fixe, vous écrivez des équations dans le repère mobile (puisque vous parlez de force centrifuge), et en polaire, puisque vous ne parlez que de l'accélération radiale!

Une manière pratique mais approximative de résoudre l'équation est de supposer, comme le dit LPFR, que la force de coriolis est négligeable (ce que vous avez fait en l'oubliant purement et simplement!), et que la balle a suffisamment été entraînée tangentiellement par le plateau pour que le frottement soit devenu radial et opposé au mouvement (et dans ce cas, la composante tangentielle du mouvement est simplement nulle dans le repère mobile)
Dans ce cas, l'équation devient plus simple d²r/dt=omega².r-fg
(Notez quand même que cette équation n'est pas ce que vous avez écrit, car il faut prendre en compte le frottement)

Mais je vous ai dit que je suis nul en mécanique rationnelle, j'ai fait des calculs du mieux que je pouvais, si je suis sur ce forum c'est pour avoir des réponses et être corriger.

[kdjender]

Re.
Les dessins vous servent à écrire les équations correctement. ZUT !
J'arrête.
A+

Monsieur si mes questions ou mes remarques vous dérangent, vous n'avez tout simplement qu'à ne pas les commenter ou à tout simplement vous casser la tête à me répondre.
Cordialement.

[Resartus]

Récapitulons :
1) le calcul exact est très largement hors de portée, que ce soit en cartésien ou en polaire, à cause de l'angle que fait la force de frottement, qui fait des expressions en racine( r^2+ v^2) pratiquement insolubles. Mais compte tenu de votre niveau, je ne pense pas que ce soit cela qu'on vous demande.
2) Le calcul approximatif que je vous ai indiqué permet, quand on se situe dans le repère mobile (donc en prenant en compte la force centrifuge) de trouver l'évolution de r en fonction du temps. Essayez déjà de le retrouver puis de résoudre l''équation que je vous ai indiquée.
3) Inutile d'essayer d'aborder le cas numero 3, qui demande, même en régime permanent, des compétences nettement supérieures.
4) je pense que nous serons tous heureux, une fois la fumée dissipée, de voir ce que votre prof attendait réellement comme réponses...

[Resartus]

Ah mais cela change tout! on ne vous demande pas de résoudre les équations, mais simplement de les trouver, puis de les résoudre numériquement. Je les ai toutes écrites dans un de mes messages précédents, soit en repère fixe, soit en repère mobile. A vous d'essayer de les comprendre, puis de les calculer maintenant...