Comment contredire Zénon uniquement par la logique, sans les maths ?

[andretou]

Bonjour tout le monde
J'ai un problème avec le paradoxe bien connu d'Achille et de la tortue, par lequel Zénon entendait démontrer (avec aussi d'autres paradoxes) l'impossibilité de tout mouvement.
Pour mémoire, Achille et la tortue font une course. Achille donne une avance de 100 mètres à la tortue.
Comme Achille avance 10 fois plus vite que la tortue, quand Achille parcourt les 100 mètres le séparant de la tortue, celle-ci a entretemps parcouru 10 mètres, de sorte qu’il reste encore à Achille à parcourir 10 mètres pour rattraper la tortue. Mais lorsqu’Achille a parcouru ces 10 mètres, la tortue a encore avancé de 1 mètre, et ainsi de suite…
Puisque la tortue avance toujours d’une certaine distance pendant qu’Achille essaie de combler son retard, il en résulte que, quelle que soit sa vitesse, Achille ne rattrapera jamais la tortue !
Evidemment, l'expérience prouve qu'Achille rattrape la tortue, et les mathématiques permettent de calculer sans difficulté l'instant exact.
Il y a donc nécessairement une faille dans le raisonnement de Zénon. Mais où précisément ?
Toutes les réfutations que j'ai trouvées se contentent de démontrer par le calcul qu'Achille rattrape la tortue, sans démontrer en quoi le raisonnement de Zénon est erroné.
Est-il possible de contredire Zénon uniquement par la logique, sans faire appel aux arguments mathématiques ?
Merci pour vos réponses.
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[LPFR]

Bonjour.
Il suffit de ne pas utiliser le raisonnement sophiste de Zénon.
Quand Achille aura parcouru 200 m, où se trouvera la tortue ?
Elle n’aura parcourue que 20 m et se trouvera 80 m derrière Achille.
Au revoir.

[invite07941352]

Bon jour,

je ne sais pas si c'est de " la logique " , mais il suffit d'observer les nombreux dépassements sur les routes .
Je n'ai JAMAIS vu une auto roulant à 100 km/h rester au niveau d'une autre roulant à 20 km/h .
Mais c'est peut être une fausse impression ? Ou alors mon nombre d'observations est insuffisant ?
Attendons la démonstration " par la logique " ....

[invite07941352]

Bonjour LPFR ,
Vous trichez !!!! Vous faites des opérations mathématiques ....

Cordialement ,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite75014153]

Bonjour,
Je ne comprends pas vraiment cet état d'esprit qui consiste à attribuer aux mathématiques le rôle d'entité autonome, un peu mystique, réservé à une part réduite de la population, qui propose des résolutions de problèmes d'une façon qui s'oppose au "bon sens", à la visualisation immédiate, à l'intuition.
Les mathématiques nous proposent des outils incroyablement puissants mais qui découlent tous du "bon sens" et qui n'apparaissent mystiques que si on ne connaît pas le développement qui y mène.

Du coup c'est comme si vous me demandiez "Pourriez-vous me calculer l'aire de cette surface ? Mais sans utiliser d'intégrales car cela n'est pas naturel/réel/intuitif."
J'aurais deux façons de répondre. Je peux soit faire des calculs horribles, non-rigoureux et non-généralisables au bout desquels je trouverai un résultat qui me parlera peu. Ou alors je peux dire "Je vais résoudre le problème mais pour cela laissez-moi créer un outil qui sera plus puissants et aura des applications générales qui permettront de voir la situation étudiée avec plus de recul", et vous démontrer rigoureusement comment les notions de fonctions, puis de représentation par des courbes, puis d'aires sous les courbes (même si cette introduction des intégrales est un peu vieillote je sais) proviennent en fait d'axiomes simples et fondamentaux qui font partie du bon sens.

Bref, si on tente de mathématiser le paradoxe comme c'est habituellement fait (en introduisant des distances chiffrées, des vitesses, des rapports de vitesses et de distance) il est évident que la réponse ne peut être que mathématique. La réponse est la suivante : Une addition infiniment grande d'éléments infiniment petits n'est pas nécessairement infinie ou nulle.
Les mathématiques le disent, mais après un long raisonnement qui se ramène finalement aux axiomes issus du "bon sens".

Et si vous me demandez de le prouver "avec les doigts" je ne peux tout simplement pas le faire. Je ne peux pas vous montrer une somme infinie d'éléments infiniment petits ! La seule démarche que je pourrais tenter si on ne me laissait pas les mathématiques consisterait à dire "Regardez, j'ai réalisé l'expérience et constaté qu'Achille rattrape la tortue ! Cela prouve qu'une somme infinie d'instants infiniment courts est finie !". En d'autre terme j'affirme "Zénon a tort car Zénon a tort.".
Les mathématiques me permettent de m'en sortir en remontant aux axiomes à l'aide des démonstrations (qui ne consistent finalement qu'à écrire des équivalences entre certains axiomes choisis et des propriétés d'objets judicieusement créées). Je pourrai alors dire que Zénon a tort parce que les mathématiques peuvent décrire notre réalité. Quant à savoir comment ça se fait qu'ils puissent la décrire, c'est là un grand mystère !

Si maintenant vous cherchez une explication plus philosophique, la première étape consiste à ne pas poser le problème sous un angle mathématique (je divise cette distance n fois par deux, je divise la distance par la vitesse pour avoir le temps etc etc), et vous verrez que certains auteurs comme Bergson ont traité cela en se tournant d'avantage vers la distinction entre temps spatialisé et temps vécu.

[Dynamix]

Salut
Faire de la logique sans maths , c' est faire des maths sans le savoir

[PlaneteF]

Bonjour,

Achille ne rattrapera jamais la tortue !

Le raisonnement de Zénon en quelque sorte tend à "figer" le temps, et donc le "jamais" que tu écris (voir ta citation), ce serait plus précisément "jamais avant le rattrapage d'Achille", ...

... Ce qui du coup donne à la conclusion finale un fort parfum tautologique !

Cordialement

[coussin]

Bon jour,

je ne sais pas si c'est de " la logique " , mais il suffit d'observer les nombreux dépassements sur les routes .
Je n'ai JAMAIS vu une auto roulant à 100 km/h rester au niveau d'une autre roulant à 20 km/h .
Mais c'est peut être une fausse impression ? Ou alors mon nombre d'observations est insuffisant ?
Attendons la démonstration " par la logique " ....

Pas mieux.
Jamais trop compris ces trucs de Zénon... Suffit d'observer autour de soi pour conclure, non ?

[PlaneteF]

... Suffit d'observer autour de soi pour conclure, non ?

C'est bien pour cela que le raisonnement de Zenon conduit à un paradoxe en première instance, ... puis paradoxe élucidé en deuxième instance.

Cordialement

[coussin]

Je mets ça sur le même plan que les "démonstrations mathématiques" aboutissant à 1=2. C'est amusant mais pas passionnant...

[PlaneteF]

(...) mais pas passionnant...

Eminemment subjectif, ... ce paradoxe a quand même tenu en haleine certains des plus grands esprits pendant un sacré bon bout de temps !

Cordialement

[LPFR]

Bonjour LPFR ,
Vous trichez !!!! Vous faites des opérations mathématiques ....

Cordialement ,

Bojour Catmandou.
Oui. Vous avez raison. Mais Zénon aussi fait des maths en calculant de combien avance la tortue pour chaque avancement d’Achille.

Je profite pour ajouter que le raisonnement de Zénon, en disant qu’on en peut pas avoir un nombre infini d’événements dans un temps fini est démenti pas une balle de ping-pong qui rebondit sur une surface :
Comme le choc n’est pas élastique, la belle rebondit de moins en moins haut et l’intervalle entre deux chocs est de plus en plus court. Quand on somme la série, le temps est fini. Et le nombre de rebonds infini.
(Bien sur, les rebonds s’arrentent probablement quand la fréquence atteint celle d’un des modes propres de la balle ou de la surface).
Cordialement,

[Amanuensis]

Il n'y a aucun test physique possible pour démontrer (ou réfuter) qu'il y a une infinité d'événements (que ce soit dans une durée finie ou infinie).

D'un point de vue purement physique le paradoxe de Zénon est juste un raisonnement dans la catégorie "garbage in, garbage out".

C'est pour cela que toutes les "résolutions" se font en maths, seule discipline dans laquelle on sait parler rationnellement de l'infini.

[pelkin]

Est-il possible de contredire Zénon uniquement par la logique, sans faire appel aux arguments mathématiques ?
Merci pour vos réponses.

Vous ignorez donc que la logique est partie intégrante des mathématiques, faire de la logique formelle c'est faire de la mathématique.

[velosiraptor]

Je prends la conversation en route et désolé si je mets à côté, mais, d'un point de vue physique, et comme pour toute tentative d'obtenir les équations du mouvement, il est nécessaire de connaitre quelques conditions initiales. Or, si on considère que la division d'une petite quantité, non nulle, ici une distance, par un nombre qui croît (le nombre de demi-trajets), peut-on encore raisonnablement dire qu'on connait les conditions initiales ?
Exemple : sur un trajet de 100 m (c'est déjà un beau tir à l'arc) avec une vitesse de flêche de 60 m/s --> le temps pour parcourir le n-ième demi-parcours restant est (100/60).(1/2)ⁿ
(ou plus simplement, la distance restant à parcourir est 100/2ⁿ ... ce qui présente l'avantage de ne pas tenir compte de la vitesse d'ailleurs)
Pour n = 12 on arrive à 0,407 ms soit le temps nécessaire pour parcourir 2,44 cm (soit 0,024% en écart relatif)
Pour n = 15 cette fois, le temps est de 5,09 10^-5 s c'est à dire le temps pour parcourir 3,05 mm et là, je ne suis pas sûr que celà ait un sens de parler d'une distance exacte de 100 m prise depuis une pointe de flêche et une cible (cette fois 3 mm pour une distance de 100 m représente un écart relatif de 0,003%).

En dehors de la convergence de la série (point de vue mathématique) je pense que le "brouillard" infiniment petit certes est vite englouti par la nécessité "physique" de la mesure (et la théorie mathématique qui va avec).

[Dynamix]

Je prends la conversation en route et désolé si je mets à côté

Totalement à coté
Le "sans maths" n' est pas flagrant dans ta logique .

[velosiraptor]

Ben non, je dis simplement : puis-je prendre une mesure infiniment précise ? Qui permettrait de mesurer le reliquat toujours non nul ?

[Amanuensis]

Pour n = 15 cette fois, le temps est de 5,09 10^-5 s c'est à dire le temps pour parcourir 3,05 mm et là, je ne suis pas sûr que celà ait un sens de parler d'une distance exacte de 100 m prise depuis une pointe de flêche et une cible (cette fois 3 mm pour une distance de 100 m représente un écart relatif de 0,003%).

Si l'idée générale est essentiellement la même que j'avançais (on ne peut pas faire une infinité de mesure), les performances qu'on pourrait obtenir avec les moyens actuels sont bien meilleures que ça. On peut échantillonner à moins de 10 ns (de tête, en fait certainement moins), et avec un laser et des interférences être très précis sur des distances.

Mais cela ne changera rien au principe, il y a aura toujours une limite pratique, et parler d'infinité en physique seulement un mot. (Et la physique, contrairement aux mathématiques ou à la philosophie, ne peut pas se contenter de "mots" (ou à des symboles)).

[Dynamix]

Ben non, je dis simplement : puis-je prendre une mesure infiniment précise ?

Prendre une mesure , c' est de la physique .
Le problème de Zénon , ce n' est pas de la physique .

[velosiraptor]

Oui Amanuensix je me suis arrêté là parce qu'ensuite, le 2ⁿ croît rapidement ... c'était juste une petite illustration.
Mais bon, s'il ne faut pas de maths (OK c'est le but de l'exercice) juste de la "logique" (ah bon, c'est pas des maths, ça ?) et pas non plus de la physique, ben là je ne vois pas ! Bonne gamberge ...

[albanxiii]

D'un point de vue purement physique le paradoxe de Zénon est juste un raisonnement dans la catégorie "garbage in, garbage out".

C'est malheureusement le cas de beaucoup de question qu'on voit passer ici, le genre de questions inspirées par la lecture de textes de vulgarisation par des néophytes qui veulent en tirer plus de choses qu'il n'est possible.
Il faut accepter les limites de la vulgarisation. Et sinon, il faut mettre les mains dans le cambouis.

Désolé pour le hors sujet.

[andretou]

Merci à tous pour vos réponses.
Cependant je pense qu'il doit forcément y avoir une proposition fausse dans l'énoncé lui-même.
Est-il possible de dire précisément à quel(s) niveau(x) (1/, 2/ ou 3/) se trouve(nt) l(es) erreur(s), et en quoi il s'agit d'une erreur ?
1/ Achille et la tortue font une course. Achille donne une avance de 100 mètres à la tortue.
2/ Comme Achille avance 10 fois plus vite que la tortue, quand Achille parcourt les 100 mètres le séparant de la tortue, celle-ci a entretemps parcouru 10 mètres, de sorte qu’il reste encore à Achille à parcourir 10 mètres pour rattraper la tortue. Mais lorsqu’Achille a parcouru ces 10 mètres, la tortue a encore avancé de 1 mètre, et ainsi de suite…
3/ Puisque la tortue avance toujours d’une certaine distance pendant qu’Achille essaie de combler son retard, il en résulte que, quelle que soit sa vitesse, Achille ne rattrapera jamais la tortue !

[Dynamix]

1/ Achille et la tortue font une course. Achille donne une avance de 100 mètres à la tortue.
2/ Comme Achille avance 10 fois plus vite que la tortue, quand Achille parcourt les 100 mètres le séparant de la tortue, celle-ci a entretemps parcouru 10 mètres, de sorte qu’il reste encore à Achille à parcourir 10 mètres pour rattraper la tortue. Mais lorsqu’Achille a parcouru ces 10 mètres, la tortue a encore avancé de 1 mètre, et ainsi de suite…
3/ Puisque la tortue avance toujours d’une certaine distance pendant qu’Achille essaie de combler son retard, il en résulte que, quelle que soit sa vitesse, Achille ne rattrapera jamais la tortue !

Ton énoncé du problème est mathématique .
C' est donc bien un problème de mats .
Si tu veux une solution de pure logique , il faut l' énoncer sans mathématiques .

[coussin]

Merci à tous pour vos réponses.
Cependant je pense qu'il doit forcément y avoir une proposition fausse dans l'énoncé lui-même.
Est-il possible de dire précisément à quel(s) niveau(x) (1/, 2/ ou 3/) se trouve(nt) l(es) erreur(s), et en quoi il s'agit d'une erreur ?
1/ Achille et la tortue font une course. Achille donne une avance de 100 mètres à la tortue.
2/ Comme Achille avance 10 fois plus vite que la tortue, quand Achille parcourt les 100 mètres le séparant de la tortue, celle-ci a entretemps parcouru 10 mètres, de sorte qu’il reste encore à Achille à parcourir 10 mètres pour rattraper la tortue. Mais lorsqu’Achille a parcouru ces 10 mètres, la tortue a encore avancé de 1 mètre, et ainsi de suite…
3/ Puisque la tortue avance toujours d’une certaine distance pendant qu’Achille essaie de combler son retard, il en résulte que, quelle que soit sa vitesse, Achille ne rattrapera jamais la tortue !

La conclusion 3/ est fausse.
Si vous marchez devant moi et que je cours pour vous rattraper, vous "parcourez toujours une certaine distance pendant que j'essaye de combler mon retard". Pourtant, j'y arrive.

[Mickey-l.ange]

Bonjour,

Est-ce que le prétendu paradoxe ne vient pas du fait que Zénon présente les choses comme si Achille avançait par à-coups ?
Il me semble que c'est un peu comme si la tortue avançait de manière continue et régulière,
alors qu'Achille :
- attend que la tortue soit arrivée à un point,
- puis se met en route pour rejoindre ce point où se trouvait la tortue au moment où il s'est mis en route,
- mais entretemps la tortue est arrivée à un autre point,
- alors Achille se met en route pour rejoindre ce point où se trouvait la tortue au moment où il s'est mis en route,
- mais entretemps la tortue est arrivée à un autre point,
etc de manière répétitive.
On compare donc deux mouvements de nature différente, dans lesquels la tortue a toujours un coup d'avance.
Car en quelque sorte Achille vise toujours un point que la tortue est justement en train de quitter.
Donc la tortue a toujours une longueur d'avance, de par la façon même dont est posé le problème.
Je me trompe ?

Bonjour.
Il suffit de ne pas utiliser le raisonnement sophiste de Zénon.
Quand Achille aura parcouru 200 m, où se trouvera la tortue ?
Elle n’aura parcourue que 20 m et se trouvera 80 m derrière Achille.
.

Ici, vous comparez précisément deux mouvements réguliers et uniformes, et non pas un mouvement régulier avec un mouvement par saccades avec un coup de retard.

Zénon démontrerait en fait que si on laisse toujours une longueur d'avance à quelqu'un, il est clair qu'on ne le rattrape jamais...

[coussin]

Est-ce que le prétendu paradoxe ne vient pas du fait que Zénon présente les choses comme si Achille avançait par à-coups ?

Pas du tout.
La conclusion est juste stupide : s'il est vrai que le mec devant moi avance toujours d'une certaine distance pendant que j'essaye de combler mon retard, il le semble bon de se demander si moi, derrière, j'avance de la même distance, une distance plus petite, une plus grande distance pendant le même temps ?
C'est tout.

[coussin]

Vous remarquerez qu'à aucun moment je ne parle de "vitesse". C'est un gros mot "vitesse", c'est des maths

[pelkin]

Dans le (pseudo) paradoxe de Zenon, il y a une phrase manquante (à vrai dire deux phrases) : Achille ne rattrapera jamais la tortue et n'arrivera jamais au but, de même la tortue n'arrivera jamais au but non plus, le (pseudo)paradoxe de la flèche est identique, la flèche n'atteindra jamais son but.
La réponse à été donnée dès le début ( 3ème ou 4ème post), Leibnitz l'a démontré il y a déjà un sacré bout de temps (plus de trois cent ans), la somme finie d'une infinité de termes.
Et la démonstration ne peut être QUE mathématique, la logique en fait partie.

[invite07941352]

Re,

Pour aller dans le même sens que pelkin :

" Les paradoxes de Zénon représentaient un problème important pour les philosophes antiques et médiévaux, qui n'ont trouvé aucune solution satisfaisante jusqu'au XVIIe siècle, avec le développement en mathématiques de résultats sur les suites infinies et de l'analyse."

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_de_Z%C3%A9non

Donc , nous voilà de retour au 17 ème siècle ...Et il y en a qui disent que l'on ne peut remonter dans le passé ! Si !!!

[b@z66]

Merci à tous pour vos réponses.
Cependant je pense qu'il doit forcément y avoir une proposition fausse dans l'énoncé lui-même.
Est-il possible de dire précisément à quel(s) niveau(x) (1/, 2/ ou 3/) se trouve(nt) l(es) erreur(s), et en quoi il s'agit d'une erreur ?
1/ Achille et la tortue font une course. Achille donne une avance de 100 mètres à la tortue.
2/ Comme Achille avance 10 fois plus vite que la tortue, quand Achille parcourt les 100 mètres le séparant de la tortue, celle-ci a entretemps parcouru 10 mètres, de sorte qu’il reste encore à Achille à parcourir 10 mètres pour rattraper la tortue. Mais lorsqu’Achille a parcouru ces 10 mètres, la tortue a encore avancé de 1 mètre, et ainsi de suite…
3/ Puisque la tortue avance toujours d’une certaine distance pendant qu’Achille essaie de combler son retard, il en résulte que, quelle que soit sa vitesse, Achille ne rattrapera jamais la tortue !

Oui, effectivement, Achille ne rattrapera jamais la tortue... tant qu'il n'aura pas dépassé la distance (11,1111...m) vers laquelle le fait tendre ce problème. Le paradoxe vient du fait qu'on peut partager une distance finie en une infinité d'étape(hypothèse du continu). C'est ce que fait Zénon avec son raisonnement mais cela ne signifie pas pour autant que parcourir cette infinité d'étape met un temps infini si la durée de chaque étape tend vers 0. C'est ce qu'on apprend au lycée: zéro multiplié par l'infini ne donne pas nécessairement zéro ou l'infini.