Mécanique : le lemme du tétraèdre

[zertw]

Bonjour,

Il y a quelque chose qui m'échappe dans la démonstration du lemme du tétraèdre.

Pour rappel, on note le champ des efforts surfacique s'exerçant sur la surface d'un volume . a pour variables , et

où : est le point où s'exerce l'effort
le vecteur unitaire, normal à la surface en ce point, dirigé vers l'extérieur.
le temps.

On veut prouver que est linéaire suivant la variable .

J'ai bien compris la démonstration permettant de prouver que = donc on va supposé ça acquis.

Et voilà la démonstration du lemme du tétraèdre :

On considère maintenant que est un tétraèdre, de faces notées i variant de 1 à 3 (telles que chaque ait pour vecteur normal dans la base orthonormée dans laquelle on travaille), et la 4ème face noté . On note , , et les aires correspondantes.

Et finalement on note le point d'intersection de , , et on note le vecteur correspondant. On note le projeté orthogonal de sur

Et on abouti à cette identité grâce au principe fondamental de la dynamique :



Avec la densité volumique en un point et l'accélération.

Puis il est écrit : "On fait tendre MM' vers 0 donc la limite du membre de droite est 0" ... Mon problème est le suivant : oui la limite du membre de de droite est 0 (car le volume tend vers 0), mais pourquoi celle de n'est pas 0 ?

Merci de votre aide
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[Resartus]

Bonjour,
En effet, telle qu'écrite, la "démonstration" n'en est pas une.
Pour conclure proprement, il faut regarder les dimensions

Quand le coté du tétraédre epsilon tend vers zero, le volume du tétraedre dV tend vers zero comme epsilon^3 mais les ds varient comme epsilon^2

et on peut diviser par epsilon^2 et passer aux limites pour démontrer l'égalité recherchée.

[zertw]

Merci beaucoup pour ta réponse !