Dérivés partielles

[mohamed02]

Bonjour !

Alors, même si ce domaine relève des mathématiques, je pense avoir compris que lorsqu'on fait une dérivée partielle, on dérive une fonction à plusieurs variables en fonction d'une seule variable. Cependant, les dérivés partielles sont énormément utilisés dans certains livres de physique que je lis et j'aimerais vraiment savoir l'utilité des dérivés partielles.

Pourquoi les utilise-t-on ?
Par exemple, prenons une formule qui calcule l'enthalpie d'un système : H = U+PV avec U qui est l'énergie interne, P la pression et V le volume
A quoi ça servira de faire dH/dU ?

Je ne pense pas être vraiment compréhensible, mais j'aurais tenté

Merci d'avance !!

Mohamed
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[albanxiii]

Bonjour,

L'utilité est la même que pour les fonctions d'une seule variable : donner le taux de variation d'une fonction, en fonction de la variable de dérivation. La différence ici c'est qu'on a plusieurs variables.

Par contre, l'exemple que vous donnez n'est pas très utile... On regarde plutôt comment varie une fonction lorsque l'on fait varier un des paramètres (je devrais écrite variable plutôt) qu'on peut contrôler. Par exemple .

Sachant que et que , on arrive à .

On pourrait écrire , mais de cette expression qui dépend de trois variables (), on ne peut tirer que .

Je pense qu'en pratiquant et en manipulant ce genre de relation vous y verrez plus clair petit à petit, surtout si c'est la première fois que vous en entendez parler. C'est comme pour tout, il faut pratiquer...

@+

[LPFR]

Bonjour.
Peut-être qu’un exemple avec des valeurs plus intuitives serait plus parlant.
Prenez la hauteur du sol h(x, y) dans une région montagneuse. Vous pouvez « voir » que suivant que vous vous déplaciez dans la direction de ‘x’ ou dans la direction de ‘y’, la hauteur de variera pas de la même façon (en général).

Vous pouvez prendre le même exemple avec la température de l’atmosphère. Suivant la direction dans laquelle vous vous déplaciez, la variation de la température peut être très différente.
Au revoir.

[mohamed02]

Bonjour ! Je vous remercie de vos réponses. Cependant, j'avoue ne pas avoir compris ce raisonnement.

Sachant que et que , on arrive à .
On pourrait écrire , mais de cette expression qui dépend de trois variables (), on ne peut tirer que

Je bloque un peu sur cette égalité : . Comme , est-il incorrect d'écrire ?

Enfin, je n'ai pas compris pourquoi on obtient :
Je vois pas où est passé le dans l'égalité

[A voir en vidéo sur Futura]

[mohamed02]

Vous pouvez prendre le même exemple avec la température de l’atmosphère. Suivant la direction dans laquelle vous vous déplaciez, la variation de la température peut être très différente.
Au revoir.

Bonsoir, oui c'est un peu plus clair, je vous remercie. Les dérivés partielles permettent donc d'illustrer des phénomènes comme ceux-ci ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Bonsoir, oui c'est un peu plus clair, je vous remercie. Les dérivés partielles permettent donc d'illustrer des phénomènes comme ceux-ci ?

Les dérivées partielles sont mêmes fondamentales en physique. Elles sont notamment employées dans dans certaines équations fondamentales, comme l'équation de Schrödinger (utilisé en mécanique quantique) ou l'équation de Navier-Stokes (utilisé en mécanique des fluides).

[mach3]

Je bloque un peu sur cette égalité : . Comme , est-il incorrect d'écrire ?

l'application de l'opérateur "d" suit les mêmes règles que la dérivation. La dérivée de fg, c'est (fg)' = fg'+gf'. La différentielle de fg, c'est d(fg) = fdg + gdf.

La différentielle, c'est une dérivée pour laquelle on n'a pas spécifié de "direction".

Quand on a une fonction d'une seule variable, c'est assez trivial, il suffit d'imaginer une ligne, avec pour chaque point de la ligne une valeur pour la fonction, et faire la dérivée, c'est grosso-modo calculer comment cette valeur change quand on passe d'un point de la ligne au suivant.

Quand on a une fonction de plusieurs variables, on a une surface, un espace, ou pire, un truc à n dimensions impossible à se représenter mentalement (c'est l'espace des paramètres dont dépend la fonction, x,y,z,t, etc...) et en chaque point on a une valeur pour la fonction. Pour parler de dérivation, on a donc un problème : quand on considère un point, il n'est pas seulement entouré de celui qui le précède et celui qui le suit (cas de la ligne), mais d'une infinité de points dans une infinité de directions. Il faut donc spécifier la direction pour faire une dérivation : comment la fonction change d'un point à un autre si on va dans une direction donnée. On appelle d'ailleurs cela une dérivée directionnelle.

Si on ne spécifie pas de direction, on a alors une "machine", la différentielle, df. Cette machine df (c'est une application linéaire, on l'appelle aussi 1-forme) sert à transformer un vecteur (donc une direction dans l'espace) en dérivée directionnelle.

En particulier, si on choisit un vecteur suivant lequel l'un des paramètres (x,y,z,t,etc) dont dépend la fonction varie de 1 et tous les autres de 0, on obtient la dérivée partielle suivant ce paramètre là.

On peut écrire une différentielle comme :

(ajouter autant de termes qu'il y a de variables).

dx, dy, dz, ... sont également des différentielles. On peut voir df comme un vecteur d'un espace dont la base est formé par les vecteurs dx, dy, dz,... et dont les dérivée partielles les coordonnées.
D'une manière plus limité et approximative : on considère que df, dx, dy, dz... sont des variations infinitésimales de f, x, y, z... on le fait tout le temps dans les cours de débutant, mais c'est assez inexact (et les variations dans les notations d'un auteur et d'un prof à l'autre n'aident pas, d en gras, d normal, delta minuscule, difficile de savoir de quel concept on parle surtout dans les situations où ils se confondent).
De ce point de vue, si on s'intéresse à une petite variation "df" de la fonction f lors d'une petite variation "dx" de la variable x, les autres variables étant maintenues constante ("dy=0", "dz=0",...), l'expression de df nous dit que cette petite variation c'est .

m@ch3