A propos des octonions.

[invite80294156]

Bonjour,
J'ai lu quelque part, je ne me souviens plus où, qu'après les quaternions, les octonions feraient leurs débuts en physique.
J'avais jusqu'ici considéré plus ou moins ceux-ci comme un passe-temps pour mathématicien désoeuvré du genre "casse-tête chinois".
Bien sûr, je m'attends à quelques coups de règle sur les doigts bien mérités pour faute impardonnable.
Mais comme je ne suis pas rancunier, je me suis déjà pardonné.
Cordialement.
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[invite54165721]

il y a un obsédé des octonions qui s'appelle joy christian. il affirme que le theoreme de bell est faux
il pense qu'il est un génie méconnu et que tous les autres n'ont rien compris et il le dit dans ses blogs.
actuellement il tente d'en tirer de l'argent sur amazon

[Médiat]

Bonsoir,

Les octonions(dim 8), mais aussi les sédénions (dim 16), et même les tringintaduonions (dim 32) ont été utilisés en physique.

Les octons (dim 16 sur IR) et les sédéons (dim 32 sur IR) ont été mis au point par des physiciens :

Grace aux Octons, il est possible de formuler les équations de Maxwell-Proca et l'équation de Klein-Gordon de façon à la fois compacte et élégante.

[invite54165721]

et les biquaternions?+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Aussi, je n'ai pas cherché à être exhaustif :

Equation de Dirac (pour le changement de spin de l'électron).
Electromagnétisme et équations de Maxwell.
Mécanique Quantique (E. Conte, Biquaternion Quantum Mechanics , Advances in Applied Clifford Algebras, Volume 10, N 2, pages 298 - 299, 2000).
Représentation du groupe de Lorentz (fondamental pour la relativité)

[Anonyme007]

Bonsoir,

Voici un grand chercheur de renommé mondiale qui utilise beaucoup les octonions et les a introduit aussi dans ses recherches sur les groupes quantiques : https://en.wikipedia.org/wiki/Shahn_Majid
Pour définir la notion de groupe quantique, il faut passer par les notions suivantes :
Voici le schéma ascendant à suivre :
Espaces vectoriels Variété Schémas Groupes algébriques Algèbres de Hopf Groupes quantiques. ( Juste de manière simplifiée, mais le parcours contient d'autres éléments au passage que j'ai ignoré. J'ai évoqué les principales notions à parcourir ).

Cordialement.

[0577]

Bonjour,

un objet fondamental en physique est le groupe de Lorentz, dont les éléments sont les transformations faisant passer d'un référentiel inertiel à un autre en relativité restreinte. Le formalisme de la relativité restreinte a un sens mathématique quelque soit le nombre de dimensions spatiales. Pour un nombre d de dimensions spatiales (et donc un espace-temps de dimension d+1),
on a donc un groupe de Lorentz, noté SO(d,1).

La chaîne
(réels, complexes, quaternions, octonions), se retrouve dans une chaîne d'identifications particulières du groupe de Lorentz pour des valeurs spécifiques de d. Plus précisément, si K est un des ensembles de nombres , on peut considérer le groupe des matrices de taille 2x2 et de déterminant 1 à coefficients dans K. On a alors:

Si d=2, .

Si d=3, (c'est le cas "réaliste" avec trois dimensions d'espace).

Si d=5, .

Si d=9, .

Ces identifications permettent par exemple de donner une description explicite de la représentation spinorielle de SO(d,1) comme étant la représentation "évidente" de SL(2,K) sur K^2.

Les octonions apparaissent pour d=9 (i.e. dimension d'espace-temps égale à 10) et ce résultat fait partie d'un ensemble de "miracles mathématiques" qui font que les théories supersymétriques et la théorie des cordes existent.

Remarques techniques:

 Cliquez pour afficher

Lorsque j'écris SO(d,1), je veux vraiment écrire le revêtement universel de la composante connexe de SO(d,1) contenant l'identité, i.e. la composante connexe du groupe spin Spin(d,1) contenant l'identité.

Pour , la définition de SL(2,K) est assez subtile du fait de la non-commutativité et/ou non-associativité. Soit k la dimension de K sur . Les matrices 2x2 de déterminant 1 à coefficients dans K vivent naturellement dans mais pour les quaternions ou les octonions, elles ne forment pas un sous-groupe. En général, on définit comme étant le sous-groupe engendré par ces matrices.

[invite54165721]

si les biquaternions et ses applications a la physique vous interesse, je vous conseille un livre a 5 euros
c'est le que sais je de gastone casanove intitulé l'Algebre vectorielle. (1976)
on le trouve toujours sur amazon.

[invite80294156]

Bonjour,
Un grand merci à tous !
Lorsque je me suis intéressé aux quaternions pour la première fois, j'avoue avoir été effrayé, non pas pour leur difficulté théorique, mais par les calculs inextricables dont ils semblaient être la promesse.
J'ignorais leur emploi en physique et étais , a fortiori, loin d'imaginer qu'il en est de même avec les octonions et leurs prolongations au delà de 8.
Je m'aperçois, hélas, que mon retard en physique est désormais irrattrapable.
Cordialement.

[Paradigm]

Bonjour à tous

Les quaternions, octonions, sédénions ... sont-ils comme les complexes sans possibilité d'établir une relation d'ordre totale compatible avec la structure de corps ?

Cordialement

[Médiat]

Bonjour,

Les quaternions, octonions, sédénions (etc.) contiennent i, or, que l'on suppose i < 0 ou i > 0, on obtient une contradiction en multipliant par i les deux membres de ces inégalités.

[coussin]

Bonjour à tous

Les quaternions, octonions, sédénions ... sont-ils comme les complexes sans possibilité d'établir une relation d'ordre totale compatible avec la structure de corps ?

Cordialement

Oui. Voir là : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cayl...n_construction
La table donne les propriétés que l'on perd à chaque itération.

[Médiat]

Pour compléter ce tableau, la propriété perdue entre sédénions et trigintaduonions est la super-alternativité.

[coussin]

Pour compléter ce tableau, la propriété perdue entre sédénions et trigintaduonions est la super-alternativité.

Juste par curiosité : qu'est-ce que la super-alternativité ? (Google ne m'a rien dit et je n'ai pas été assez malin pour généraliser l'alternativité )

[Médiat]

est dite super-alternative si est une super-algèbre qui peut s'écrire
et vérifiant .

est une super-algèbre ou est -graduée si on peut écrire
(en tant qu'espace vectoriel, usuellement on précise que cette décomposition n'est pas triviale, c'est à dire ),
vérifiant de plus pour tout .

C'est typiquement le cas des algèbres obtenues par la méthode de Cayley-Dickson (qui sont toutes des super_algèbres)

[Médiat]

A ma connaissance, on ne connaît pas de propriété qui "se perde" entre trigintaduonions et les suivants (ce ne serait pas un résultat propre à rendre célèbre, mais fun)