Temps écoulé avant rencontre entre deux particules chargées

[Jack75014]

Bonjour à tous,

Je me permets de vous écrire car je ne parviens pas à résoudre un exercice d'électromagnétisme dont l'énoncé est pourtant très simple. On considère deux particules de masses m1 et m2 chargées de signe contraire et séparées d'une distance 2x. Calculer le temps écoulé avant la rencontre entre les deux particules.

J'ai tenté d'appliqué le PFD en utilisant la force de Coulomb F = -qq/k * 1/((2x)^2) et en supposant que puisque les deux particules avançaient à la même vitesse (conséquence de la 3ème loi de Newton), il suffisait de réfléchir sur le mouvement d'une seule particule soumise à une force -qq/k * 1/((2x(t))^2)) et calculer le temps écoulé lors d'un déplacement d'une distance x, soit la moitié de la distance totale puisque l'autre particule en aura fait de même.

J'obtiens cependant une équation différentielle que je ne sais pas résoudre. Pourriez-vous s'il vous plaît m'éclairer sur cet exercice.

Merci pour votre aide.
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[invite75014153]

Hello, je conseille d'utiliser la conservation de l'énergie plutôt que le PFD, disons que ça fait gagner une étape de calcul. Ensuite ça devient simplement un problème de maths : résolution d'une ED non linéaire d'ordre 1.
La séparation des variables marche bien dans ce cas-là.
Ensuite il suffit de bien choisir les bornes de l'intégrale : quelle est la position au temps t=0 et au temps t=tfinal (quand les charges se rencontrent) ?
Bon courage !

[jacknicklaus]

en supposant que puisque les deux particules avançaient à la même vitesse (conséquence de la 3ème loi de Newton)

Par rapport à quel référentiel ? Attention, les deux particules n'ont pas la même masse.

[faissol]

Bonjour

Il me semble que ce problème est insoluble. Sauf par un calcul numérique pas à pas........
Pour le moment.
Encore plus simple.
Deux mobiles de masse m1 et m2 sont séparés de la distance X0. Après combien de temps arrivent-elles à la distance X, si elles ne sont soumises qu'à leur force de gravité.

Faissol.

Un intervenant sur ce forum a proposé une solution (Archi3).(17/03/2018)

t = racine de X0³/racine de (2.G.(m1+m2). (X/X0.racine de (X0/X-1)+arctg(racine(X0/X-1))).
Et elle me paraît correcte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite75014153]

Bonjour, non ce problème n'est pas insoluble, si les deux particules n'ont initialement pas de vitesse relative on peut donner une solution explicite du temps. Si les masses sont différentes c'est un problème à deux corps classique, et si les masses sont égales c'est encore plus rapide (c'est pas une démo mais on peut même deviner la forme de la solution avec une analyse dimensionnelle et effectivement on a du R^(3/2)).
^{Juste cette précision pour que ce sujet ne subisse pas le même sort que celui sur Galilée...}

[faissol]

Bonjour Eldor, Jack 75014 et JackniKlaus

Oups.
Bon bon. Le problème n'est donc pas insoluble. J'ai du mal comprendre le peu que je connais en math et en physique.
Je me retire donc provisoirement de la discussion. Et j'attends la solution explicite du temps.......
A vous donc Eldor.

Euh. Il me semble que la conservation de l'énergie s'écrit:

K. q1. q2.(1/D-1/D0)= 1/2 m1v1² + 1/2 m2v2². K vaut 1/(4.pi.epsilon0).

J'attends patiemment.

Faissol

[Amanuensis]

Le forum physique n'est pas un forum seulement pour discuter et débattre. Pour les exercices posée par des étudiants (1), il me semble que la même discipline s'applique qu'en forum Maths, comme décrit dans http://forums.futura-sciences.com/ma...tml#post918591, dont je recopie le contenu:

nous suggérons à ceux qui savent résoudre les exercices de ne pas en poster des corrections complètes, mais de privilègier des indications, rappels de méthode, etc. Ceci permet évidemment de tirer profit au maximum des possibilités du forum : l'accompagnement est en général bien plus profitable à l'auteur du fil qu'un corrigé tout fait.

C'est bien entendu déjà la politique pratiquée sur ce forum, ce message s'adressant en particulier aux nouveaux.


Les messages jusqu'à #3 inclus respectent cette discipline. Pas la suite.


(1) Et même àmha pour des questions posées par des intervenants voulant apprendre, et dont les réponses peuvent être obtenues par réflexion ou par recherche documentaire...

[faissol]

Bonjour

J'ai fait quelques calculs.....
Donc.
Un proton et un électron.
Lâchés à 100 m l'un de l'autre.
Mettent 68.8 secondes pour arriver à 10 m l'un de l'autre.
Et leur vitesse relative à 10 m l'un de l'autre est de 6.75m/s.
Sauf erreur dans les calculs....................... ......
Je vais vérifier par calculs numériques pas à pas.

C'est donc une réponse.... A vous donc de trouver comment.................


Faissol

[mach3]

On peut aussi pinailler sur le fait d'utiliser la loi de Coulomb, qui est de l'électrostatique, dans une situation qui n'est pas statique. Les deux particules vont être accélérées, elles vont donc émettre du rayonnement, ce qui va les feiner et rallonger la durée avant la rencontre par rapport à ce qu'on peut calculer via Coulomb.
Bon je suppose que l'exercice ne part pas dans ces considérations...

m@ch3

[Jack75014]

Merci pour vos réponses. Je vais essayer de reprendre les idées présentées ici.

Bien à vous,

[coussin]

Est-ce que on ne peut pas relier ça (via la dualité gravitation/électromagnétisme) au temps de coalescence de 2 masses ?

On peut faire le calcul analytique direct très simple avec le temps de coalescence τ entre deux masses m₁ et m₂ séparées par une distance r.

τ = (5/256) (c⁵/G³)r⁴/[m₁m₂(m₁+m₂)]

[invite75014153]

Les messages jusqu'à #3 inclus respectent cette discipline. Pas la suite

Pour ma part j'ai justement fait exprès de ne pas donner de solution et de donner au contraire une piste (analyse dimensionnelle) permettant à faissol et à l'auteur de se faire une idée, pour le reste ok.
Enfin bref on s'en fiche, ce type de discussion est encore plus vain. Faissol je vous envoie la solution en MP.

[jacknicklaus]

Quelques étapes de la résolution :

1) changement de variable pour se placer dans le référentiel de centre de masse Rg = (m1r1 + m2r2)(m1+m2) et de la particule "virtuelle" r = r1 - r2.

2) montrer qu'alors le mouvement du centre de masse est uniforme rectiligne, dans le référentiel du labo. On peut alors se placer dans ce référentiel galiléen parfaitement valable

3) calculer dans ce référentiel l'énergie totale qui ne dépend alors plus que de r.

4) appliquer la constance de cette énergie, on en tire une équation assez simple où A est une certaine constante et r0 la distance initiale entre les particules.

5) intégrer. non trivial. un changement de variable utile pourrait être . ca donne une expression t(r), et il se trouve que t(r) a une limite quand r tends vers zéro. Ce qui est la valeur demandée.


N'hésites pas à revenir avec tes calculs si tu bloques quelque part.

[Archi3]

Quelques étapes de la résolution :

1) changement de variable pour se placer dans le référentiel de centre de masse Rg = (m1r1 + m2r2)(m1+m2) et de la particule "virtuelle" r = r1 - r2.

2) montrer qu'alors le mouvement du centre de masse est uniforme rectiligne, dans le référentiel du labo. On peut alors se placer dans ce référentiel galiléen parfaitement valable

3) calculer dans ce référentiel l'énergie totale qui ne dépend alors plus que de r.

4) appliquer la constance de cette énergie, on en tire une équation assez simple où A est une certaine constante et r0 la distance initiale entre les particules.

5) intégrer. non trivial. un changement de variable utile pourrait être . ca donne une expression t(r), et il se trouve que t(r) a une limite quand r tends vers zéro. Ce qui est la valeur demandée.


N'hésites pas à revenir avec tes calculs si tu bloques quelque part.

j'ai donné la solution pour la force gravitationnelle, qui a été rappelée par faissol - c'est exactement la même pour la force électrostatique, mutatis mutandis ...(il y a un petit piège pour les masses et les charges).