[Maths] [1èreS] Géométrie : valeurs de cos2pi/5 et sin2pi/5

[kNz]

Bonjour,

Je remercie beaucoup sailx qui m'a transmis cet exercice :

Enoncé

Nous cherchons la valeur exacte de et de .


Soit ABCDE un pentagone régulier direct inscrit dans le cercle trigonométrique de centre O.

1)

a) Indiquer les mesures des angles orientés ; ; ; .

b) Exprimer et en fonction de .


2)

a) On appelle l'isobarycentre des points A, B, C, D, E. Démontrer que O est barycentre des points pondérés et .

b) On considère la rotation de centre O et d'angle . Comment transforme-t-elle le pentagone ABCDE ? En déduire que , O et B sont alignés.

c) Que peut-on en conclure pour le point et pour ?


3)

a) Soit l'équation dans .

b) Démontrer que est solution de l'équation.

c) En déduire la valeur exacte de et de .

Question subsidiaire : Calculer et .

Have fun ;o)

[sadyoner]

On a trivialement :
(OA, OB) = 2pi/5
(OA, OC) = 4pi/5
(OA, OD) = 6pi/5
(OA, OE) = 8pi/5

b)OB=OE,AB=AE(ABCDE régulier,et inscrit) donc (OA) médiatrice du segment [BE].
On constate donc que OBAE est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et 2 côtés consécufits de même longueur =>OBAE losange.

on obtient avec la règle du parallélo: OB+OE=OH=2cos(2pi/5)OA de la mm façon on a OC+OD=2cos(4pi/5)OA,(désolé je sais pas mettre les flêches...).


II)
A+B+C+D+E=0
5O+OA+OB+OC+OD+OE=0
on utilise les relations trouvés précédements qui donnent :
-5O+OA+2cos(2pi/5)OA+2cos(4pi/5)OA=0
-5O+(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))OA=0

Soit O bary de (,-5) et (A,1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)

b)Posons r cette rotation,en utilisant les relations trouvés dans le 1ere question on se rend compte que cette rotation transforme A en B,B en C,C en D,D en E et E en A,donc le pentagone est tout simplement invariant par la rotation r... est l'isobarycentre de A B C D E,et ABCDE invariant alor est invariant. est le barycentre de O et A donc son image par la rotation(lui meme) est le barycentre des images respectives de O et A,soit barrycentre de O et B, appartient donc à la droite (OB),soit ,O et B alignés.

c) est le bar de A et O,donc ces points sont alignés,on a vu précédément que ,O et B aussi,donc et O confondus,soit:
1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)=0!
III)
a)
4cos²(2pi/5)+2cos(2pi/5)-1=4*(1+cos(4pi/5)/2)+2cos(2pi/5)-1=1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)=0 selon la question précédente.
a=b?)
c)cos(2pi/5) est solution donc on cherche la solution...2pi/5 est comprit entre 0 et pi/2,donc la solution doit etre positive,en calculant on se rend compte qu'il s'agit de -1+...pour trouver sin,on utilise la relation fondamentale de la trigo cos²+sin²=1,donc sin²=1-cos²,cos²(2pi/5)=-5+2,pour trouver sinus blabla il faut prendre la racine carré(j'ai la flemme).
subsidiaire:
J'ai pas très envie de le faire mais je pense qu'il faut utiliser la relation cos(a+b),donc cos(2pi/5)=cos²(pi/5)-sin²(pi/5),ensuite on utilise la relation fondamentale avec cos²(pi/5)+sin²(pi/5)=1,on fait la somme,et après ça doit aller...je l'aurais fais volontier mais je sature un peu la...




Jean

[sailx]

oui, c'est ça. Bravo.
Un petit detail,on peut aussi trouver la grâce aux cordonnées polaire. Tu trouve les coordonées polaire de chacn des vecteurs et hop, ça marche tout seul. (et c'est peut être un peu plus rigoureux)
Pour la derniere question, c'est bien cette relation qu'il faut utiliser.
Bravo encore une fois

[sadyoner]

,une année de sup ça aide.

Jean

[hottah]

euh... bonjour pour le losange, ça serai vrai que si les diagonale se coupe en leur milieu!!!! car il existe des figure qui ont les diagonales perpendiculaire et 2 coté consécutif égaux:!!! juste une petite remarque...