[Probas L3] loi d'un couple

g_h · 26/03/2008, 11h47

Salut à tous,

Je me permets de vous soumettre une question qui me turlupine un peu trop... :

Soit X un variable aléatoire réelle, qui suit une loi quelconque, disons une loi normale.

Ma question est : comment calculer la loi du couple (X, f(X)) ? (ou f est une fonction qui n'a rien de spécial)
Par exemple (X, X³)

Je ne vois vraiment comment faire un calcul qui aboutirait à une loi de couple... !

Merci d'avance pour toute aide quelle qu'elle soit !

Ganash · 26/03/2008, 12h16

Bonjour.
La densité de la loi du couple (X,Y) est égal au produit des densités de la loi du couple X et du couple Y (on parle de produit tensoriel).

Si j'ai par exemple deux V.A. X et Y dont je connais la loi et qu'on me demande la loi du couple (X+Y,Y/(X+Y), il faut introduire l'application qui à (X,Y) -> (X+Y,Y/(X+Y)), vérifier que c'est un difféomorphisme (calcul de jacobien etc...). Puisque je connais la densité de la loi de X et de Y, je connais la densité du couple (X,Y), j'écris donc E[f(X,Y)] pour toute f borélienne bornée et par la formule de changement de variable bien connu (qui fait intervenir le jacobien), je peux me ramener à E[f(X+Y,Y/(X+Y)] et en déduire la loi de ce couple.
C'est peut être pas très clair...

Donc en gros pour la loi de (X,X^3), tu calcules la loi du couple (X,X), tu introduis un difféo (X,X)->(X,X^3), tu écris E[f(X,X)] pour f borélienne bornée quelconque et tu en déduis par changement de variable la densité de (X,X^3).

g_h · 27/03/2008, 15h16

Citation:

Posté par Ganash

Bonjour.
La densité de la loi du couple (X,Y) est égal au produit des densités de la loi du couple X et du couple Y (on parle de produit tensoriel).

Si j'ai par exemple deux V.A. X et Y dont je connais la loi et qu'on me demande la loi du couple (X+Y,Y/(X+Y), il faut introduire l'application qui à (X,Y) -> (X+Y,Y/(X+Y)), vérifier que c'est un difféomorphisme (calcul de jacobien etc...). Puisque je connais la densité de la loi de X et de Y, je connais la densité du couple (X,Y), j'écris donc E[f(X,Y)] pour toute f borélienne bornée et par la formule de changement de variable bien connu (qui fait intervenir le jacobien), je peux me ramener à E[f(X+Y,Y/(X+Y)] et en déduire la loi de ce couple.
C'est peut être pas très clair...

Donc en gros pour la loi de (X,X^3), tu calcules la loi du couple (X,X), tu introduis un difféo (X,X)->(X,X^3), tu écris E[f(X,X)] pour f borélienne bornée quelconque et tu en déduis par changement de variable la densité de (X,X^3).

Salut à toi et merci !

J'ai plusieurs questions/remarques concernant ta réponse :
Je débute un peu les probas "continues", et en fait je me rends compte que je ne sais pas expliciter la loi du couple (X, X)...

... pourrais-tu me guider un peu par hasard ?

Autre question, qui me paraît peut-être plus intéressante : Si je n'ai pas de difféomorphisme, par exemple, si je veux calculer la loi du couple (X, X^2) ? c'est légitime il me semble, non ? Et je n'ai pas de difféomorphisme... ? (ou il faut décomposer le problème sur R+ et R- ?)

Merci encore

Ganash · 27/03/2008, 16h41

Je vais te faire un petit exemple :

Soit X,Y deux V.A. suivant toutes deux la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ .
On connait leur densité :
$f_X (x)=\lambda e^{- \lambda x}. 1_{R+} (x)$
$g_Y (y)=\lambda e^{- \lambda y}. 1_{R+} (y)$
On en déduit la densité du couple (X,Y) :
$h_{(X,Y)} (x,y)=\lambda e^{- \lambda x}. 1_{R+} (x) \lambda e^{- \lambda y}. 1_{R+} (y)=\lambda^2 e^{-\lambda (x+y)}.1_{R+} (x). 1_{R+} (y)$
En fait on a : $h_{(X,Y)} (x,y)=f_X (x)*g_Y (y)$ où le * représente le produit tensoriel.
Pour ce qui est du difféo, en principe les énoncés sont faits de manière à ce que ca se fasse sans problème (genre X V.A. à valeurs positives etc...)
Sinon c'est à toi de distinguer les cas j'imagine (m'enfin j'ai jamais eu à le faire !)

God's Breath · 27/03/2008, 21h52

Le problème dans le cas du couple (X,X) c'est que les deux variables ne sont pas indépendantes...

ghostoyo · 27/03/2008, 22h28

Salut,
J'ai un exercice qui me turlupine et qui ressemble au sujet de ce message : j'ai une variable aléatoire X qui suit une loi normale de paramètre m et sigma
on pose Y=X² Il faut trouver la loi du couple (X;Y)

je sais qu'il faut calculer integrale de 1 / racine(2*pi*sigma²) * exp( -(x-m)²/(2*sigma²)) dx puis effectuer un changement de variable mais lequel ?

Merci.

g_h · 06/04/2008, 17h01

Citation:

Posté par God's Breath

Le problème dans le cas du couple (X,X) c'est que les deux variables ne sont pas indépendantes...

C'est bien ça le problème en effet. Apparemment on peut s'en sortir en introduisant la mesure de Dirac en X² pour Y. Je ne vois vraiment pas d'autre solution, en effet... (quelqu'un pour confirmer ?)

ambrosio · 07/04/2008, 11h24

salut,

je crois que vous faites fausse route: (X,f(X)) n'a en général pas de densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R^2. En fait, si f est injective, la loi de (X,f(X)) c'est la loi de X, ni plus ni moins.