résolution de l'équation de la chaleur à une dimension

Darktempo · 16/03/2008, 17h07

Bonjour,

Je souhaite résoudre l'équation de la chaleur à une dimension suivante sur un élément de 4 millimètres d'épaisseur.
dT/dt = (1/D) * d²T/dt²

Je l'applique sur un matériau qui a une température initiale de 30°C : T(x,0)=30
En x=0, j'ai toujours T(0,t)=cste

Je souhaite connaitre l'évolution dans le temps en x=4mm.

Après recherche sur internet, j'arrive à trouver des solutions numériques et la méthode pour les obtenir mais ces solutions nécessitent d'imposer la température en x=4mm et c'est que je cherche.

Si vous pouviez m'aider.

Je vous remercie

Astronerd · 16/03/2008, 17h33

Regarde par exemple cela: http://math.la.asu.edu/~nikitin/FourierMeth/node1.html

je pense que ça répond à ta question (c'est le début de la résolution, il y a les trois cas $\lambda<0, \lambda=0,\lambda>0,$ qui sont sur des pages séparés, liens vers le bas). Mais si ça répond pas à ta question, dis-nous ce qui te gène...

Darktempo · 27/03/2008, 14h26

Bonjour,

j'avais déja vu ce site.

Ce qui me dérange est cette ligne :

u(t,0)=0; u(t,L)=0; (deuxieme ligne de formule)

Il impose la température en sortie. Or ce que je cherche est la température en sortie, c'est à dire u(t,L) avec t variable

markhoppus · 27/03/2008, 15h20

déjà ans ton équation il me semble qu'il y a une faute de frappe: la dérivée seconde est par rapport à x.
$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{\partial ^2T}{\partial x^2}$ sans sources.

markhoppus · 27/03/2008, 15h32

ensuite pour la réponse, je pense que celle ci doit convenir:
en imaginant un solide à la température T1 que l'on veut refroidir en maintenant une de ses extrémitésà la température T0, en supposant que le solide est de grande dimension et peut être considéré comme un 1/2 espace à sa distribution de température qui s'écrit:
$\frac{T-T_1}{T_0-T_1}=(1-erf(\frac{x}{\sqrt{4\alpha t}}))$

la fonction erf est: $erf(x)=\frac{2}{\sqrt{pi}}\int _{0}^{x}exp(-u^2)du$

la fonction erf est très utilisé dans les problème de diffusion/conduction.

Et bonjour au fait !!!!

birusin · 28/03/2008, 12h45

Bonjour,

L'équation de la chaleur peut être résolue en utilisant la Transformée de Fourier et ses proprietés pour les dérivées. En connaissant la distribution des temperatures à t0 tu peut connaitre l'évolution.

chwebij · 28/03/2008, 13h55

bonjour
Etant en 1D, je pense qu'on peut utiliser les différences finies pour ce type de problème.
si je ne me trompe pas, ce genre de résolution demande 2 conditions limites (schéma centré).
Vu que tu en as une pour x=0 et que tu ne sais rien sur x=4mm, tu peux faire une conditions de Neumann, cad $grad T=0$ en x=4mm.