[Maths] [TS] Intégration des fonctions trigonométriques - Forum Exercices pour les concours et examens

martini_bird · 06/01/2007, 13h58

Déterminer les intervalles de définition et les primitives des fonctions suivantes :

1) $f_1(x)=\sin^4 x$
2) $f_2(x)=\cosh^4 x$
3) $f_3(x)=\tan x+\tan^3 x$
4) $f_4(x)=\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}$

Phys2 · 06/01/2007, 15h21

Merci martini_bird, je m'y mets tout de suite

Phys2 · 06/01/2007, 18h07

1) On a $D_f=R$

En utilisant la propriété $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ et en développant cette expression au carré, puis en intégrant, on obtient :

$\int f_1(x) dx=\frac{1}{4}(-\sin 2x+\frac{1}{8}\sin 4x+\frac{3}{2}x)$

2) On a $D_f=R$

En considérant $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ , et en développant cette expression à la puissance quatre à l'aide du triangle de Pascal, puis en intégrant, on obtient :

$\int f_2(x) dx=\frac{1}{16}(\frac{1}{4}e^{ 4x}+2e^{2x}+6x-2e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-4x})$

3) On a $D_f=R- { k\frac{\pi}{2} }$ , avec $k \in Z$

Par contre une petite question, lorsque l'on a une intégrale, que l'on effectue un changement de variable en u, mais qu'il reste des variables x, a-t-on le droit de considérer ces variables x comme des constantes ?

martini_bird · 06/01/2007, 18h14

Salut,

ok pour la 1 et la 2.

Citation:

Posté par Phys2

3) On a $D_f=R- { k\frac{\pi}{2} }$ , avec $k \in Z$

Pas tout à fait : que se passe-t-il si k est pair ?

Citation:

Par contre une petite question, lorsque l'on a une intégrale, que l'on effectue un changement de variable en u, mais qu'il reste des variables x, a-t-on le droit de considérer ces variables x comme des constantes ?

Non, c'est pas de la cuisine !

Cordialement.

Phys2 · 06/01/2007, 18h24

Citation:

Pas tout à fait : que se passe-t-il si k est pair ?

Oui effectivement, donc on a $D_f=R-(2n+1)\frac{\pi}{2}$ avec $n \in Z$

Citation:

Non, c'est pas de la cuisine !

Dommage, ça aurait été plus facile comme ça

Bon c'est pas grave je trouverais une autre solution

g_h · 07/01/2007, 01h26

Recentrons les choses : cet exercice est niveau TS (c'est écrit dans le titre

), donc sûrement pas besoin de changement de variable, ne cherche pas trop loin

Phys2 · 27/04/2008, 19h24

Je termine ce que j'ai commencé

:

$\int f_4(x) dx= \int \frac{cos(x)}{sin(x)}dx + x= \int \frac{u'(x)}{u(x)} dx+x$ , avec $u(x)=sin(x)$ .

On a donc finalement $\int f_4(x) dx= \ln | sin(x)| + x + C$ , où $C \in \mathbb{R}$ .

**homotopie** · 30/04/2008, 17h15

Citation:

Posté par Phys2

[tex]\int f_4(x) dx= \int \frac{cos(x)}{sin(x)}dx + x

Ça vient d'où ?

Indice (tu regardes seulement si tu veux) :

Cliquez pour afficher

Phys2 · 01/05/2008, 08h15

Citation:

Ça vient d'où ?

D'une absurdité

Je recommence

ben89 · 01/05/2008, 11h15

Citation:

Posté par g_h

Recentrons les choses : cet exercice est niveau TS (c'est écrit dans le titre

), donc sûrement pas besoin de changement de variable, ne cherche pas trop loin

l'éxercice n'est pas niveau ts puisqu'on utilise le cos hyperbolique introduit en première année universitaire

Calembour · 02/05/2008, 07h13

Hey, j'aimerais juste savoir si mon raisonnement est jute. Qu'est ce que le cosinus hyperbolique?

Cliquez pour afficher

weakheart · 02/05/2008, 15h26

C'est le cosinus en trigonométrie hyperbolique :
défini par Ch(x) = (e^x+e^-x )/2

tout comme il existe aussi une trigonométrie sphérique.
et a chaque fois les formules changes
ex: tu sais que cos²x+sin²x =1
et bien en hyperbolique c'est ch²x-sh²x =1

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