Spin 1/2 sous rotation - Page 2

Karibou Blanc · 14/05/2008, 15h57

Citation:

D1(R)=R...

je ne comprends pas bien ce que tu entends par cette égalité, en écrivant le meme R. Le R dans D1(R) est un élément du groupe des rotations, D1(R) est un représentant de cet élément dans la représentation D1, D1(R) est donc une matrice associée à un espace vectoriel ! C'est totalement différent !

Quant tu écris qu'un élément du groupe s'écrit en terme de générateur comme : $R=e^{i\theta n_iJ_i$ les J n'ont pas d'expression matricielle propre, ce sont simplement des générateurs satisfaisant $[J_i,J_j]=i\epsilon_{ijk}J_k$ . Ils sont représentés par une matrice dans une réprésentation donnée. Les matrices que tu donnes pour les générateurs en écrivant : $(J_k)_{ij}=-i\epsilon_{ijk}$ correspondent à une représentation précise (qu'on appelle l'adjointe) et qui n'a rien à voir avec la représentation D1, donc c'est normal de ne pas trouver les matrices pour les générateurs, puisque ce sont deux représentations différentes.

gatsu · 14/05/2008, 15h59

Citation:

Posté par Thwarn

Mon probleme n'est pas une histoire de notation

Quand j'ecrit $R=e^{-i\theta \vec{n}.\vec{J}}$ , les J sont les générateur des rotations $(J_k)_{ij}=-i\epsilon_{ijk}$ .

Ben oui mais ça c'est faux non ? Si j'ai bien compris le truc des groupes de Lie (et rien n'est moins sûr) l'idée est que tant qu'on n'a pas spécifié la représentation (linéaire) du groupe (i.e. l'espace d'application plus l'ensemble des éléments du groupe ou un truc comme ça) on ne peut pas expliciter ses générateurs. Par contre ces générateurs appartiennent toujours à la même classe d'Algèbres de Lie i.e. celles qui ont les mêmes coefficients de structure pour une opération "crochet" donnée (souvent le commutateur des matrices en représentation linéaire).

mariposa · 14/05/2008, 16h03

Citation:

Posté par Thwarn

Mon probleme n'est pas une histoire de notation

.
OK

Citation:

Quand j'ecrit $R=e^{-i\theta \vec{n}.\vec{J}}$ , les J sont les générateur des rotations $(J_k)_{ij}=-i\epsilon_{ijk}$ .
Quand j'ecrit $D1(R)=e^{-i\theta \vec{n}.\vec{L}}$ , les L (que je peux ecrire J, mais ca ne changera rien...) sont les matrices moment cinetique pour un spin 1 (par exemple, $L_z=$ \array{1&0&0 \\0&0&0\\0&0&-1}$$ ) qui ne sont clairement pas egale aux J, pourtant on a bien ecrit D1(R)=R...

Ta forme de Lz n'est pas correcte. Il est évident que si tu fait une rotation autour de l'axe z la composante du vecteur selon l'axe z reste invariante donc tu dois avoir un 1 sur la diagonale en position 3. par contre tu dois avoir des élements de matrices non diagonaux dans le sous bloc de dimension 2 corrspondant à l'espace (x,y).
.
J'ai l'impression que tu confonds l'expression de la representation du générateur Lz dans la base (x,y,z) et les valeurs propres de Lz dans la base de ses vecteurs propres pour J=1.

Thwarn · 14/05/2008, 16h09

Citation:

Posté par mariposa

.
Ta forme de Lz n'est pas correcte. Il est évident que si tu fait une rotation autour de l'axe z la composante du vecteur selon l'axe z reste invariante donc tu dois avoir un 1 sur la diagonale en position 3. par contre tu dois avoir des élements de matrices non diagonaux dans le sous bloc de dimension 2 corrspondant à l'espace (x,y).
.
J'ai l'impression que tu confonds l'expression de la representation du générateur Lz dans la base (x,y,z) et les valeurs propres de Lz dans la base de ses vecteurs propres pour J=1.

C'est fort probable (et meme sur

)
C'est surement le fais que j'arrive pas a connecte le rapport entre spin1 et vecteur... Je pense deviner ce qu'est sense dire ta derniere phrase, mais j'avoue que c'est tres tres flou.

mariposa · 14/05/2008, 19h08

Citation:

Posté par Thwarn

C'est fort probable (et meme sur

)
C'est surement le fais que j'arrive pas a connecte le rapport entre spin1 et vecteur... Je pense deviner ce qu'est sense dire ta derniere phrase, mais j'avoue que c'est tres tres flou.

.
Je résume la philosophie du problème.
.
Quand tu calcules dans une base cartésienne (x,y,z) l'effet d'une rotation selon les 3 axes du trouves 3 matrices 3.3 qui ne sont pas diagonales.
.
De là tu peux définir les 3 générateurs Jx,Jy,Jz qui sont a un facteur i près 3 matrices qui representent des variation infinitésimales angulaires au voisinage de la transformation identité (toujours dans la base (x,y,z). Pour les mêmes raisons que précedemment ces 3 genérateurs ne sont pas diagonaux et en plus ils ne commutent pas entre eux. les relations entre ces 3 générateurs définissent l'algébre de Lie du groupe. et joue le rôle de la table de multiplication des groupes discrets.
.
Maintenant il est possible de faire n'importe quel changement de base pour representer ces 3 générateurs: La base (x,y,z) devient (x',y',z').
.
Comme les générateurs ne commutent pas on peut en diagonaliser 1 seul à la fois, cad trouver le bon changement de base. L'usage est de diagonaliser Lz.
.
Si tu prends comme nouvelle base { a|x+i.y>, a|x-i.y>, |z> } (a vaut 1/racine de 2) tu pourras a partir de la representation de Lz dans la base (x,y,z) trouver la representation de Lz diagonale qui t'est familière. Je t'invites a faire ce petit calcul. Ceci devrait résoudre ton problème.

Karibou Blanc · 14/05/2008, 20h02

Citation:

Je t'invites a faire ce petit calcul. Ceci devrait résoudre ton problème.

Je pense sincèrement que son problème est lié à la compréhension de l'existence de différentes représentations (ie de différents espace vectoriels) et pas au fait qu'il existe plusieurs bases pour écrire les matrices d'une meme représentation.

Thwarn · 14/05/2008, 20h14

Citation:

Posté par mariposa

.
Je résume la philosophie du problème.
.
Quand tu calcules dans une base cartésienne (x,y,z) l'effet d'une rotation selon les 3 axes du trouves 3 matrices 3.3 qui ne sont pas diagonales.
.
De là tu peux définir les 3 générateurs Jx,Jy,Jz qui sont a un facteur i près 3 matrices qui representent des variation infinitésimales angulaires au voisinage de la transformation identité (toujours dans la base (x,y,z). Pour les mêmes raisons que précedemment ces 3 genérateurs ne sont pas diagonaux et en plus ils ne commutent pas entre eux. les relations entre ces 3 générateurs définissent l'algébre de Lie du groupe. et joue le rôle de la table de multiplication des groupes discrets.
.
Maintenant il est possible de faire n'importe quel changement de base pour representer ces 3 générateurs: La base (x,y,z) devient (x',y',z').
.
Comme les générateurs ne commutent pas on peut en diagonaliser 1 seul à la fois, cad trouver le bon changement de base. L'usage est de diagonaliser Lz.
.
Si tu prends comme nouvelle base { a|x+i.y>, a|x-i.y>, |z> } (a vaut 1/racine de 2) tu pourras a partir de la representation de Lz dans la base (x,y,z) trouver la representation de Lz diagonale qui t'est familière. Je t'invites a faire ce petit calcul. Ceci devrait résoudre ton problème.

haaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa! !!!!!! Je commence a comprendre!!!!
Merci, c'était l'explication qu'il me fallait

Je vais enfin pouvoir dormir la nuit, ou du moins avoir des insomnies avec un autre problème

Je digére ça et je reviens

mariposa · 14/05/2008, 20h34

Citation:

Posté par Thwarn

haaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa! !!!!!! Je commence a comprendre!!!!
Merci, c'était l'explication qu'il me fallait

Je vais enfin pouvoir dormir la nuit, ou du moins avoir des insomnies avec un autre problème

Je digére ça et je reviens

Au plaisir de te lire.

Thwarn · 15/05/2008, 17h33

Voila, ca a tourne un peu pendant la nuit, donc je livre mes impressions

La nouvelle base (celle ou Jz est digonal) ressemble beaucoup beaucoup a celle d'une polarisation circulaire, et je crois savoir que ce n'est pas pour rien...
On peut donc reprensenter tout vecteur dans la base cartesienne (comme on en a l'habitude) ou dans la base ou Jz est diagonale. Et c'est pour ca qu'un champ vectoriel est un champ de spin 1!!!
Je pense que j'arrivais pas a faire la connection parcequ'il ne me venait pas a l'idee d'utiliser une base complexe pour representer des quantites habituellement reel (en tout cas quand on parle de vitesse ou d'impulsion).

Merci a tous!

Thwarn · 16/05/2008, 00h19

Bon, maintenant viens le problème du rapport entre SU(2) et SO(3)

On commence par choisir un groupe, par exemple SU(2). Il est définit par son algèbre de Lie (et sa topologie).
On peut ensuite définir les représentations irréductibles (RI) qui permettront de construire les autres :
RI de dimension 1 (spin 0), tous les éléments du groupe sont représentés par 1
RI de dimension 2 (spin 1/2, spineur, représentation fondamentale de SU(2))
RI de dimension 3 (spin 1), etc...

Dans un des cours que je lis ils disent :

Citation:

"seules les représentations de SU(2) de spin entier sont des représentations de SO(3). Par construction, les forment l’ensemble complet de toutes les représentations unitaires irréductibles inéquivalentes de dimension finie de SO(3)."

Est-ce que cela signifie qu'il n'y a pas de représentation en dimension 2 de SO(3)? ou seulement pas unitaire-et-irréductible?
Est-ce que l'on peut quand même garder l'interprétation (de SO(3)) pour la représentation j=1/2 de SU(2), à savoir "une représentation (pour des objets de dimension 2) des rotations dans un espace euclidien de dimension 3" ? Je dirais à priori oui (c'est ce qu'on dit pour l'électron, non?), mais je préfère être sûr...

Dans le cas où j=1, la représentation de SO(3) et celle de SU(2) sont identiques. L'interprétation pour SO(3) est qu'on modélise par ces matrices la rotation (dans l'espace euclidien de dimension 3) de vecteur (objet de dimension 3). Est-ce exactement la même interprétation pour SU(2)? Si ce n'est pas le cas, quelle est-elle?

Merci encore

mariposa · 16/05/2008, 10h05

Citation:

Posté par Thwarn

Bon, maintenant viens le problème du rapport entre SU(2) et SO(3)

On commence par choisir un groupe, par exemple SU(2). Il est définit par son algèbre de Lie (et sa topologie).
On peut ensuite définir les représentations irréductibles (RI) qui permettront de construire les autres :
RI de dimension 1 (spin 0), tous les éléments du groupe sont représentés par 1
RI de dimension 2 (spin 1/2, spineur, représentation fondamentale de SU(2))
RI de dimension 3 (spin 1), etc...

.
Bonjour,

OK

Citation:

Dans un des cours que je lis ils disent :

Il faut préciser dans cette phrase qu'il n'y a pas de representations irréductibles de dimension 2 (paires en générales) de SO(3)

Citation:

Est-ce que cela signifie qu'il n'y a pas de représentation en dimension 2 de SO(3)? ou seulement pas unitaire-et-irréductible?

.
SO(3) possèdent des representations de dimension 2 mais réductibles. exemple trivial: soit un jeu {D} de matrice unité de dimension 2. Cette representation se décompose en 2 representations irréductibles de dimension 1 càd:

D = L= 0 + L=0
.
Remarque: à partir de cette representions réductible 2*2 tu peux engendrer un jeu infini de representions équivalentes (par un changement de base quelconque).

Citation:

Est-ce que l'on peut quand même garder l'interprétation (de SO(3)) pour la représentation j=1/2 de SU(2), à savoir "une représentation (pour des objets de dimension 2) des rotations dans un espace euclidien de dimension 3" ? Je dirais à priori oui (c'est ce qu'on dit pour l'électron, non?), mais je préfère être sûr...

;
Je ne suis pas sur de bien comprendre ta phrase. Voici que je tente:
.
En raison de l'homomorphisme de groupe le groupe SU(2) peut être représenté par le groupe SO(3) et pas le contraire.

Cela veut dire que le jeu de matrices J=3 de dimension 8 peut representer les groupes SO(3) aussi bien que SU(2).

Citation:

Dans le cas où j=1, la représentation de SO(3) et celle de SU(2) sont identiques. L'interprétation pour SO(3) est qu'on modélise par ces matrices la rotation (dans l'espace euclidien de dimension 3) de vecteur (objet de dimension 3). Est-ce exactement la même interprétation pour SU(2)? Si ce n'est pas le cas, quelle est-elle?

Merci encore

Oui cela découle de la construction de la relation entre SO(3) et SU(2).
.
A une rotation de SO(3) representée par un vecteur de R3 (x,y,z) tu peux associer une matrice 2*2 de trace nulle dont les éléments de matrices sont:

1-1: z
2-2: -z
1-2: x-i.y
2-1: x+i.y

Thwarn · 16/05/2008, 12h56

Citation:

Posté par mariposa

Je ne suis pas sur de bien comprendre ta phrase. Voici que je tente:
.
En raison de l'homomorphisme de groupe le groupe SU(2) peut être représenté par le groupe SO(3) et pas le contraire.

Pour preciser ce que je voulais dire : pour SO(3) les representation j=0 et j=1, correspondent a des objet de dimension respcetive 1 et 3 qui, sous l'effet des matrices dans ces representations, pour l'un ne se transforme pas (scalaire) pour l'autre se transforme comme un vecteur usuel.
On interprete SO(3) comme le groupe des rotations dans un espace euclidien a 3D.
Ma question est donc : est-ce que dans le cas j=1/2 de SU(2) on peut garder cette interpretation : "La representation irreductible j=1/2 de SU(2) est une representation dans un espace a 2D d'une rotation dans l'espace euclidien 3D"?

Citation:

Posté par mariposa

Cela veut dire que le jeu de matrices J=3 de dimension 8 peut representer les groupes SO(3) aussi bien que SU(2).

pour j=3, la dimension est 7, non?

mariposa · 16/05/2008, 13h18

Citation:

Posté par Thwarn

Ma question est donc : est-ce que dans le cas j=1/2 de SU(2) on peut garder cette interpretation : "La representation irreductible j=1/2 de SU(2) est une representation dans un espace a 2D d'une rotation dans l'espace euclidien 3D"?

.
Oui mais cet espace 2D n'est pas un sous-espace de l'espace 3D euclidien.
L'espace 2D est un espace vectoriel construit sur le corps des complexes.
Il y a seulement un homomorphisme entre les transformations dans 3D et les transformations dans 2D.

Citation:

pour j=3, la dimension est 7, non?

selon les conventions des notations arithmétiques en cours c'est bien 7. Il fallait donc comprendre 8 au sens de 7....

Thwarn · 16/05/2008, 13h46

Citation:

Posté par mariposa

.
Oui mais cet espace 2D n'est pas un sous-espace de l'espace 3D euclidien.
L'espace 2D est un espace vectoriel construit sur le corps des complexes.
Il y a seulement un homomorphisme entre les transformations dans 3D et les transformations dans 2D.

Oui oui, pas de confusion entre les espaces!!
Zont quand meme un comportement bizarre ces electrons...

Merci!