Problème de Mécanique (Moment d'inertie J )

SUIRE2 · 16/10/2006, 18h49

Bonjour,
Je suis constructeur amateur d'avions, et je galère depuis un certain temps, sur la recherche du moment d'inertie en rotation d'une hélice.
Pour le déterminer,j'ai tendu un fil d'acier de 2,6 mm de diamètre entre le plafond et le plancher (longueur 3,30m.) puis j'ai fixé l'hélice de 1m82 de long, horizontalement au milieu du fil. Vous avez deviné, j'ai fait un pendule de torsion.
J'ai calculé la constante de torsion du fil par la formule : C = Pi/32 x d^4/l xG avec G = 8. 10^9kg/m² pour l'acier

J'ai trouvé C = 10,9 .10^-3 kg.m

J'ai ensuite mesuré le temps pour 10 oscillations et j'ai trouvé une période de 10,8 sec.
Par la formule J = C/4x(T/Pi)² j'ai trouvé
J=32.10^-3 kg.m²
Le problème est, que les ordres de grandeur ne sont pas bons, car les documentations donnent des valeurs de J pour les hélices de l'ordre de 700.10^-3 kg.m²

J'ai fait aussi des essais sur une barre en bois parallélépipédique dont le moment d'inertie en rotation est connu par formule. Là aussi le test du pendule ne correspond pas au calcul théorique.

Je remercie d'avance celui ou celle qui trouvera la faille.

Meilleures salutations

Tifoc · 16/10/2006, 19h53

Bonsoir,

Je vous conseil de travailler en unités légales... Car sur la dernière formule utilisée, le fait que vous ayez calculé C en kg.m induit une erreur. On trouve C=0,109 N.m (jusque là, l'emploi des kg.m ne pose pas de réel problème) mais ensuite J=322.10^-3 kg.m²... ce qui est plus dans l'ordre de grandeur recherché (encore que ça reste 2 fois trop petit).

Cordialement,

Tifoc · 16/10/2006, 23h11

C'est encore moi

Votre fil, il est encastré à chacune de ses extrémités ? Si oui, on arrive à 644.10^-3kg.m² ! La formule que vous utilisez pour J=C.T²/(4.Pi²) vaut pour un fil libre à une extrémité.

pephy · 17/10/2006, 08h08

bonjour,
il faut doubler la constante de torsion pour chaque moitié du fil, donc finalement multiplier par 4 le couple de rappel.
Ce qui, sauf erreur donne J=1288.10^-3 kg.m²

mécano41 · 17/10/2006, 08h56

Bonjour,

J'ai fait ainsi :

Moment d'inertie polaire du fil :

$I_o\ =\ \frac{\pi d^4}{32}\ =\ \frac{\pi.{(2,6.10^{-3})}^4}{32}\ =\ 4,486.10^{-12}\ m^4$

Module d'élasticité transversale :

$G\ =\ 8.10^{10}\ N.m^{-2}$

On calcule la raideur $\ \frac{M_t}{\theta}\ \$ d'un fil de longueur L=1,15 m :

$\theta_{unitaire}\ =\ \frac{M_t}{G.I_o}$

$\theta\ =\ \frac{M_{t}.L}{G.I_o}\ =\ \frac{M_{t}.1,15}{8.10^{10}.4, 486.10^{-12}}$

$\frac{M_t}{\theta}\ =\ 0,312\ N.m.rad^{-1}$

On double (pour deux demi-fils) :

$C\ =\ 2\ .\ 0,312\ =\ 0,624 \ N.m.rad^{-1}$

Période d'oscillation :

$T\ =\ 2.\pi \sqrt{\frac{J}{C}}$

Avec :

T = période d'oscillation en s
J = inertie cherchée en kg.m²
C = couple de rappel total en $N.m.rad^{-1}$
On tire :

$J\ =\ \frac{10,8^2 . 0,624}{4.\pi^2}$

$J\ =\ 1,84\ kg.m^2$

soit grossièrement l'inertie d'un morceau de bois d'environ 1,8 m et de section 100x24 mm

En espérant ne pas avoir fait d'erreur...

A bientôt

P.S : Attention, je pense que si le fil est trop tendu, la mesure est faussée.

pephy · 17/10/2006, 10h23

Citation:

On calcule la raideur d'un fil de longueur L=1,15 m :

3,30m divisé par 2 çà donne 1,65m

C=0,2175 -> J=1,285 kg.m²

mécano41 · 17/10/2006, 10h29

Citation:

Posté par mécano41

...En espérant ne pas avoir fait d'erreur...

Ben...si...

Désolé ! la division par 2 n'est plus à ma portée !

SUIRE2 · 22/10/2006, 17h52

Merci à tous de vous pencher sur mon problème.
Si on double la constante de torsion, ( car le fil est effectivement fixé aux deux extrémités ),on va simplement doubler le moment d'inertie (car J = CT²/4pi²), donc C = 0,0218 et J =0,064 Kg.m²
ce qui me laisse encore une puissance de 10 de différence, et ce, quelles que soient les unités , hélas!

Tifoc · 22/10/2006, 18h21

Bonjour,

J'ai repris mes totaux : je maintiens qu'il y a un problème d'unité... On trouve J=0,64 kg.m²

mécano41 · 22/10/2006, 18h57

Bonjour,

Avec Pephy, on trouve 1,285 kg.m² (voir mon calcul en prenant L fil = 1,65 et non 1,15 comme j'ai fait).

Comment trouve-tu la moitié ?

Cordialement

Tifoc · 22/10/2006, 20h40

Bonjour,

Autant pour moi, j'ai été trop vite !

J'ai repris le problème vis à vis des unités sans reconsidérer la remarque fort judicieuse de Pephy : il faut bien multiplier par 4 la constante de raideur...
Donc (on va y arriver, si, si) J=1,28 kg.m² !

Mea culpa, mea culpa, mea culpa, mea culpa, mea culpa, mea culpa, mea culpa, mea culpa, mea culpa, mea culpa, mea culpa, mea culpa, mea culp... et vive CTRL+C/V

Cordialement,

SUIRE2 · 26/10/2006, 23h40

Merci encore à tous, je crois avoir trouver la solution. En fait, il ne faut pas quadrupler la constante de torsion ,mais simplement la doubler,car on a à faire à 2 pendules simples de torsion suspendus au plafond, que l'on aurait accollés par les 2 barres en en inversant un.Un serait pendu au plafond et l'autre au plancher et les barres seraient communes.

J'ai vérifié cela en suspendant une barre de bois de 1 m. de long, de 55 mm de largeur et de 1,420 kg de poids( l'épaisseur est de 40 mm mais n'entre pas dans le calcul )
La barre est suspendue en son milieu ( comme l'hélice ) par une corde à piano de diamètre 1 mm, et de longueur 1,835 m.
En doublant la constante d' inertie on trouve C = 1,712 . 10^-²m.N . rad^-1

J'ai mesuré la période de 10 oscillations soit 16,5 secondes; on trouve alors J = 11,8 .10-² kg.m²

2 ) Module d'Inertie du prisme de bois .
J = m/ 12( b² + l² ) avec b = 55.10^-3 m. et l = 1 m.
et m = 1,420 kg

on trouve ainsi J = 11,8.10-² kg/m² CQFD

mécano41 · 27/10/2006, 07h59

Citation:

Posté par SUIRE2

...En fait, il ne faut pas quadrupler la constante de torsion ,mais simplement la doubler,car on a à faire à 2 pendules simples de torsion suspendus au plafond...

Bonjour,

C'est bien ce qui t'avait été dit dans les posts #4 et #5

Cordialement