Nains de jardin

[-Zweig-]

Sept nain sont assis autour d'une table ronde. Chacun a un verre devant lui. Il y'a du lait dans certains verres et il y'a au total 3L de lait. L'un des nains partage son lait uniformément entre les six autres sans en garder pour lui. En parcourant la table dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, chaque autre nain fait de même. Après que le septième a partagé son lait, le contenu des verres est le même qu'au départ.

Trouver de quelle quantité de lait chaque nain disposait au départ.

[invite986312212]

ce n'est pas possible, parce que quand le dernier nain partage son lait, il n'a plus de lait ("sans en garder pour lui") et donc il faudrait que chaque nain ait une quantité nulle de lait, or la somme doit faire 3 litres.

[Médiat]

Ambrosio, seul le dernier doit avoir 0L :

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6/7 ; 5/7 ; 4/7 ; 3/7; 2/7 ; 1/7 ; 0

[Gaara]

Salut Médiat,

pouvez vous m'expliquer comment vous avez trouvé ce résultat ?? =)

[Médiat]

pouvez vous m'expliquer comment vous avez trouvé ce résultat ?? =)

C'est tout bête :

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J'ai commencé par remarquer, comme ambrosio, que le dernier recevait 0 fois du lait, puis que le précédent recevait 1 fois du lait, le précédent 2 fois du lait, jusqu'au premier qui en reçoit 6 fois, et en me disant que si toutes ces quantités étaient égales j'obiendrais (avec la condition initiale : total = 3L) une équation du premier degré à une inconnue, et donc une solution.
Par contre cela ne démontre pas que c'est la seule (si c'est le cas)

[Gaara]

lol merci ^^ c'était tout bête en fait xD

[-Zweig-]

Bravo Médiat (ça ne m'étonne pas de vous) Parcontre en effet ça ne démontre pas que c'est la seule répartition possible (en fait c'est la seule). En fait pour démontrer que c'est la seule répartition possible, il faut pour cela utiliser le "principe du maximum". Je vous laisse voir comment ?

[homotopie]

J'ai bien une preuve, généralisable à n'importe quel nombre de nains, que c'est l'unique solution mais c'est "violent", il doit y avoir plus élémentaire :

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Soit T la transformation consistant à répartir la part du 1er équitablement entre les autres puis à tourner les parts 1->7->6->5->4->3->2->1
C'est linéaire et le sous-espace des 7-uplets invariants pour T⁷ est stable car est le noyau de T⁷-Id.
Comme la 7ème composante est nulle on se limite à la restriction aux 6 1ères composantes.
Si on considère la forme réduite de Jordan d'une matrice on voit aisément que ker(T⁷-Id) est inclus dans les espaces limite des ker(T-xId)ⁿ où x est une racine 7ème de l'unité (les autres blocs le déterminant est nul).
Or, la matrice de T (réduit aux 6 1ères composantes est :

On développe le calcul du polynôme caractéristique selon la 1ère ligne on a
P(x)=(1/6-x)(-x⁵)-det
ce dernier déterminant on le développe selon la 1ère ligne, etc..
on obtient p(x)=(1/6-x)(-x⁵)-1/6(x⁴+x³+x²+x+1)
p(x)=x⁶-(1/6)(1+x+x²+...+x⁵)
Une racine 7ème de l'unité autre que 1 vérifie 1+x+...+x⁵+x⁶=0 donc p(x)=(7/6)x⁶ est non nul.
1 est racine simple de ce polynôme, il est facile de voir que p(1)=0 mais que p'(1) est non nul
donc limite des ker(T-Id)ⁿ=ker(T-Id)
Maintenant la résolution de ker(M-Id) donne aisément c6=(1/6)c1, c=(2/6)c1,..., c2=(5/6)c1 d'où ker(M-Id) est le sev de dimension 1 engendré par (6,5,4,3,2,1).
CQFD

[-Zweig-]

Brutal Je propose une autre manière de faire :

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Dans l'ensemble des nains, chacun considéré au moment pù il doit partager son lait, il y en a un qui dispose d'un maximum de lait. Appelons-le Max. Les six autres nains à sa droite disposent respectivement de quantités de lait à partager. Max récupère de chacun unités de lait. On a donc :

(1)

si on note le lait que le -ème nain possède au moment où il doit partager. Or, , pour tout i. Si cette inégalité était stricte, ne serait-ce qu'une fois, on ne pourrait pas avoir égalité au (1). Donc . Par conséquent, tous les nains partagent la même quantité de lait quand c'est leur tout de partager. On en déduit alors facilement que la distribution initiale de lait était 0, x/7, 2x/7, 3x/7, 4x/7, 5x/7, 6x/7. Comme la somme totale vaut 3, alors .

[homotopie]

Je propose une autre manière de faire :

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Dans l'ensemble des nains, chacun considéré au moment pù il doit partager son lait, il y en a un qui dispose d'un maximum de lait. Appelons-le Max. Les six autres nains à sa droite disposent respectivement de quantités de lait à partager. Max récupère de chacun unités de lait. On a donc :

(1)

si on note le lait que le -ème nain possède au moment où il doit partager. Or, , pour tout i. Si cette inégalité était stricte, ne serait-ce qu'une fois, on ne pourrait pas avoir égalité au (1). Donc . Par conséquent, tous les nains partagent la même quantité de lait quand c'est leur tout de partager. On en déduit alors facilement que la distribution initiale de lait était 0, x/7, 2x/7, 3x/7, 4x/7, 5x/7, 6x/7. Comme la somme totale vaut 3, alors .

C'est plus sobre et élégant, en effet.