La chèvre et le loup

[Florette]

Bonjour,
Je sors de MPSI et cette année je suis tombée sur un colleur de physique sympathique qui m'a posé un problème qui m'a beaucoup plu. Je vous en fais part.
On considere une piscine circulaire de rayon R. A son centre se trouve une chèvre qui sait nager dans toutes les directions à une vitesse modulable comme elle le souhaite, ne pouvant cependant pas dépasser une certaine valeur V. Au bord de la piscine se trouve un loup affamé qui se ferait bien la biquette pour son 4h. Ce loup sait courir, mais uniquement autour de la piscine circulaire, et à une vitesse non modulable de 4V.
Question: la biquette peut elle sortir de la piscine sans se faire bouffer?

[robert et ses amis]

ça a l'air interessant, mais est-ce que tu peux donner une petite précision d'ordre sémantique : ça veut dire quoi "se faire bouffer"? parce que si ta chevre et ton loup sont des point, est ce que ça veux dire qu'il faut que les 2 se superposent?

[prgasp77]

D'un point de vue très peu formel : en spirale. En s'éloignant de cette facon du centre, le loup tentant de se trouver toujours le plus proche possible de la chèvre, la situations finira par devenir avantageuse pour la chèvre, elle se trouvera à une distance d du rebord et le loup à l'opposé, ie à une distance distance 2piR > d.
Mais uen fois sortie de la piscine, la chèvre courera-t-elle à une vitesse supérieur à 4V ?

[matthias]

D'un point de vue très peu formel : en spirale. En s'éloignant de cette facon du centre, le loup tentant de se trouver toujours le plus proche possible de la chèvre, la situations finira par devenir avantageuse pour la chèvre, elle se trouvera à une distance d du rebord et le loup à l'opposé, ie à une distance distance 2piR > d.
Mais uen fois sortie de la piscine, la chèvre courera-t-elle à une vitesse supérieur à 4V ?

Mais, il ne faut pas considérer une spirale prédéterminée, sinon le loup n'a qu'à calculer le point de sortie et s'y rendre tout de suite. Il faudrait voir ce que ça donne avec une tactique du genre vitesse de la chèvre toujours colinéaire à l'axe loup-chèvre (et s'éloignant du loup bien sûr).

[Florette]

Le loup mange la chevre si les deux points sont superposés.
Une fois sortie de la piscine la chèvre court a une vitesse variant de 0 à V comme quand elle était dans la piscine.
Indice: la chevre est munie de bon sens.

[360no2]

et le loup ?
est-ce qu'il sait faire autre chose que de cercles sur un rayon constant ?

[justine&coria]

Si à chaque instant, la petite biquette se déplace toujours vers le point diamétralement opposé au loup, ça marche, non ?
Intuitivement, c'est ce que je dirais, mais reste plus qu'à le prouver.

[robert et ses amis]

Si à chaque instant, la petite biquette se déplace toujours vers le point diamétralement opposé au loup, ça marche, non ?

c'est une bonne idée ça !
La biquette ne peut le faire seulement si elle ne s'éloigne pas trop du centre...
Si la chèvre est à une distance r du centre, sa vitesse angulaire max est wc=V/r. Le loup quand à lui tourne à wl=4V/R.
Donc la chevre peut se maintenir diametralement opposée au loup pour wc>=wl, ce qui donne r=<R/4.
Maintenant qu'elle est là, la chevre n'a plus qu'à espérer pouvoir atteindre le bord le plus proche avant le loup...
Il reste 3/4R à parcourrir pour la chèvre, d'où un temps Tc=(3R)/(4V).
Pour le loup, il s'agit de faire une demi circonférence à 4V donc Tl=(pi.R)/(4V).
3<pi...Victoire de la chèvre !!!

[fred123]

mias derriere elle a interet a tracer pour pas se faire bouffer...

[Florette]

c'est une bonne idée ça !
La biquette ne peut le faire seulement si elle ne s'éloigne pas trop du centre...
Si la chèvre est à une distance r du centre, sa vitesse angulaire max est wc=V/r. Le loup quand à lui tourne à wl=4V/R.
Donc la chevre peut se maintenir diametralement opposée au loup pour wc>=wl, ce qui donne r=<R/4.
Maintenant qu'elle est là, la chevre n'a plus qu'à espérer pouvoir atteindre le bord le plus proche avant le loup...
Il reste 3/4R à parcourrir pour la chèvre, d'où un temps Tc=(3R)/(4V).
Pour le loup, il s'agit de faire une demi circonférence à 4V donc Tl=(pi.R)/(4V).
3<pi...Victoire de la chèvre !!!

!!!
C'est ca.

[Florette]

mias derriere elle a interet a tracer pour pas se faire bouffer...

C'est vrai qu'une fois sortie de sa piscine elle va se faire manger, mais ca ce n'est plus le problème!