Le n-ieme chiffre.

[deyni]

Bonjour.

Voici la question:

Dans la suite de chiffres 122333444455555..., chaque entier est écrit autant de fois que sa valeur.

Quel est le 2001ème chiffre?
Voir la réponse


Et sa réponse:

 Cliquez pour afficher

On sépare la solution en deux parties :
1ère partie : quelle est le nombre que l'on va être en train de répéter aux alentours du 2001 chiffres ?
Les nombres de 1 à 9 sont représentés par un seul chiffre. Pour écrire la suite jusqu'au nombre 9, il faut 1 + 2 + ... + 9 = 45 chiffres.
Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres. Pour écrire la séquence correspondant à chaque nombre n, il faut 2*n chiffres. Pour écrire la suite du nombre 10 au nombre n , il faut N chiffres, avec :
N = 2 * somme (de 10 à n) = 2*[somme (de 1 à n) - somme (de 1 à 9)] = 2*[ n*(n+1)/2 -45] = n*(n+1) -90
Ainsi pour écrire la suite de 1 à n, il faut n*(n+1) - 90 + 45 = n*(n+1) - 45 chiffres.
On résout alors le polynôme suivant :
2 * n * ((n+1)/2) = n² + n - 45 = 2001
<=> n² + n - 2046 = 0
Etant donné que l'on cherche uniquement un nombre positif, on trouve = 44,73.
Pour écrire la suite jusqu'au nombre 44 inclus, il faut : 44*45 - 45 = 1935 chiffres
Pour écrire la suite jusqu'au nombre 45 inclus, il faut : 45*46 - 45 = 2025 chiffres
Le 2001 ème est donc dans la séquence correspondant au nombre 45.

2ème partie : Le 2001ème chiffre est-il un 4 ou un 5 ?
Le 45ème chiffre est un 9, le 46ème est un 1, le 47ème est un 0. Ainsi dans la séquence "45" (du 1936ème au 2025ème) les chiffres de rang pair sont des 4, ceux de rang impair des 5.

En conclusion, le 2001ème chiffre est un 5.

Mais je ne la comprend pas quelqu'un peu m'explique s'il vous plait?

Merci.
-----

[JPL]

Ce n'est pas la suite des chiffres mais la suite des nombres.

[Amanuensis]

Ce n'est pas la suite des chiffres mais la suite des nombres.

Pour demander le 2001^e chiffre, on est bien obligé de parler de chiffres, et de suite de chiffres, non?

[Amanuensis]

Mais je ne la comprend pas quelqu'un peu m'explique s'il vous plait?

Difficile à première vue de faire plus clair que la réponse !

Pourriez-vous préciser à quel endroit vous avez une difficulté ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[deyni]

C'est ça que je ne comprends pas:

Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres. Pour écrire la séquence correspondant à chaque nombre n, il faut 2*n chiffres. Pour écrire la suite du nombre 10 au nombre n , il faut N chiffres, avec :
N = 2 * somme (de 10 à n) = 2*[somme (de 1 à n) - somme (de 1 à 9)] = 2*[ n*(n+1)/2 -45] = n*(n+1) -90
Ainsi pour écrire la suite de 1 à n, il faut n*(n+1) - 90 + 45 = n*(n+1) - 45 chiffres.

Merci.

[Amanuensis]

Décomposons...

Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres.

Cela ne devrait pas être un problème...

Pour écrire la séquence correspondant à chaque nombre n, il faut 2*n chiffres.

C'est ce que dit l'énoncé. Pour n=35, 70 chiffres vont apparaître dans la suite, pour n=63, 126 chiffres, etc. 2n chiffres pour le nombre n.

Pour écrire la suite du nombre 10 au nombre n , il faut N chiffres, avec :
N = 2 * somme (de 10 à n) = 2*[somme (de 1 à n) - somme (de 1 à 9)]

Problème ?

= 2*[ n*(n+1)/2 -45] = n*(n+1) -90

On applique la formule générale somme(de 1 à n)= n(n+1)/2. D'où somme(de 1 à 9)=45.

Ainsi pour écrire la suite de 1 à n, il faut n*(n+1) - 90 + 45 = n*(n+1) - 45 chiffres.

Les 45 rajoutés sont les chiffres de la suite pour les nombres de 1 à 9.

S'il reste une difficulté, où est-celle plus précisément ?

[deyni]

Décomposons...

Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres.

Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres.

petite erreur

[deyni]

Décomposons...

Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres.

Cela ne devrait pas être un problème... .

Aucun.

Pour écrire la séquence correspondant à chaque nombre n, il faut 2*n chiffres.

C'est ce que dit l'énoncé. Pour n=35, 70 chiffres vont apparaître dans la suite, pour n=63, 126 chiffres, etc. 2n chiffres pour le nombre n.

je ne comprends pas cela:"séquence correspondant " et "n"

Pour écrire la suite du nombre 10 au nombre n , il faut N chiffres, avec :
N = 2 * somme (de 10 à n) = 2*[somme (de 1 à n) - somme (de 1 à 9)]

Problème?

Oui, avec le "N" et la formule.

= 2*[ n*(n+1)/2 -45] = n*(n+1) -90
On applique la formule générale somme(de 1 à n)= n(n+1)/2. D'où somme(de 1 à 9)=45

ok.Suite arithmétique

Ainsi pour écrire la suite de 1 à n, il faut n*(n+1) - 90 + 45 = n*(n+1) - 45 chiffres.

Les 45 rajoutés sont les chiffres de la suite pour les nombres de 1 à 9.

Pourquoi ils ont rajoutés les 45, et comment?

Merci beaucoup, et désoler pour le dérangement.

[lawliet yagami]

je ne comprends pas cela:"séquence correspondant " et "n"

la séquence correspondant au nombre n est la répétition de ce nombre n fois
pour 11 c'est
1111111111111111111111
pour 12
121212121212121212121212

le nombre n est recopié n fois et il est composé de 2 chiffres donc le total de chiffres de la séquence correspondant à un nombre n est 2n

Oui, avec le "N" et la formule.

le N c'est le nombre de chiffre depuis n>10 pour la série jusqu'au nombre n exemple:
pour n=12
la séquence qui nous intéresse est
111111111111111111111112121212 1212121212121212 donc N=46
et pour n=13
la séquence qui nous intéresse est
111111111111111111111112121212 121212121212121213131313131313 131313131313
N=72
pour essayer d'expliquer la formule

pour n<10 c'est simple de calculer car tu ne possèdes qu'un chiffre mais comment faire lorsqu'il n'y a que des nombres à 2 chiffres... c'est la même chose mais tu dois multiplier par 2:
si tu prends mon exemple juste au dessus tu comprends que comme tu as le nombre 11 qui se répète 11 fois + le nombre 12 qui se répète 12 fois + le nombre 13 qui se répète 13 fois tu obtiens 36(11+12+13) * 2(car les nombres ont 2 chiffres)
sinon tu peux aussi le démontrer par récurrence: tu montres que c'est vrai pour 10 et 11 et que si çà marche pour alors çà marche aussi pour

Pourquoi ils ont rajoutés les 45, et comment?

si tu regardes la formule plus haut elle commence à 10(on effet on a calculer le nombre de chiffre de N pas de la séquence complète) donc pour avoir le nombres de chiffres total il faut additionner ceux entre 1 et 9 soit 45 chiffres

[Xoxopixo]

Bonjour,

Il y a plus simple, il suffit de demander à Pascal.

function Solution(h: integer): string;
var
  s     : string;
  n,d,k : integer;
begin
  s:='';
  n:=1;
  d:=0;
  while d<=h do
    begin
      for k:=1 to n do
        begin
          s:=s+inttostr(n);
        end;
       n:=n+1;
       d:=length(s);
    end;
  Solution:=copy(s, 2001, 1);
end;

Solution(2001) donne le résultat '5'

[deyni]

Ok, merci.
J'ai compris!!

Merci pour la solution informatique.

[Naheulf]

Après si il y a encore des septique il y a une solution beaucoup plus facile à comprendre : écrire/taper la série à la main 122333444455555666666777777788 888888999999999101010101010101 010101111111111111111111111121 212121212121212121212131313131 31313131313131313etc...(déjà les 138 premiers chiffres)

[danyvio]

Après si il y a encore des septique

Comme la fosse ? Je suis sceptique

[f6eyo]

Vieux problème qui refait surface, petit problème sympathique à résoudre pour un élève de terminale "S" option math !

Pour connaître le 2001ème chiffre du nombre, appelons-le Dn, je pense qu'il faut d'abord savoir calculer le nombre de chiffre de Dn :

Soit le nombre "n". On se propose de construire un entier "Dn" sur le principe suivant : 122333444455555...(n fois "n" côte à côte).

Connaissant "n", quelle est la formule donnant le nombre de chiffre de Dn ?

Il existe bel et bien une formule générale donnant ce nombre de chiffre...

Cordialement

[f6eyo]

Pour savoir si votre formule est générale, calculez le nombre de chiffre de Dn pour n = 25439 !

[f6eyo]

Par exemple pour n = 25439, Dn est constitué de 1.567.420.905 chiffres...

[f6eyo]

Alors ! Personne pour s'amuser à trouver la formule générale (quelque soit "n") ?

[mike.p]

Par exemple pour n = 25439, Dn est constitué de 1.567.420.905 chiffres...

Salut,

je trouve plutôt 1,567,409,794 . C'est très proche, l'un d'entre nous doit se planter lors des changements de tailles des nombres

Il y a une formule mais elle n'est pas très pratique, elle consiste à utiliser la somme de n Partie_Entiere_de(Log_10(n)+1) de 1 à k

Quelle est votre solution ?

[f6eyo]

Calculer combien "n" a de chiffres en base 10: c'est p = [ln n/ln 10]+1

2Sn = p.n.(n+1) + 10^p/9 - 100^p/99 – 10/99

Avec n= 25439 et p=5

Sn = pn(n+1)/2 + 10^p/18 - 100^p/198 - 5/99 = 1.567.420.905


Cordialement

f6eyo

[mike.p]

oui !

exact , c'est moi qui m'étais planté ...

serait ce la formule ? il faut quand même l'adapter selon l'ordre de grandeur de n, non ?

[f6eyo]

Bonsoir,

La formule générale est : Sn = [(ln n/ln 10)+1].n.(n+1)/2 + (10^[ (ln n/ln 10)+1])/18 - (100^[ (ln n/ln 10)+1])/198 – 5/99

Cordialement

[mike.p]

Bonjour ,

Bonsoir,

La formule générale est : Sn = [(ln n/ln 10)+1].n.(n+1)/2 + (10^[ (ln n/ln 10)+1])/18 - (100^[ (ln n/ln 10)+1])/198 – 5/99

Cordialement

joli ...

mais j'ai un petit écart avec 9 chiffres

dans l'ordre, force brute, itération sur les différences des sommes de 1 à n par ordre de grandeur et Formule de F6eyo

n = 10500309
FB : 390520953433665
DF : 390520953433665
F6 : 390520953433665

n = 105004309
FB : 44566067563621410
DF : 44566067563621410
F6 : 44566067566123560