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Ensemble des triangles

  1. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Ensemble des triangles

    Bonjour

    Comme j’ai l’habitude, je m’amuse en manipulant les triangles.
    Cette fois je construis l’ensemble de tous les triangles ayant comme cotés des nombres algébrique.
    Pourquoi algébrique ? C’est pour que l’ensemble soit dénombrable.
    Le triangle Ti a les cotés Ai, Bi et Ci avec toujours Ci supérieur ou égale à Bi et Bi supérieur ou égale à Ai.

    La première difficulté c’est lorsque l’un des cotés est supérieur à la somme des deux autres, on trouve un triangle aplatit ; j’ai trouvé la solution de nommer tout les triangles aplatis le triangle zéro (c’est comme si les trois cotés en une valeur égale zéro).

    J’ai mon ensemble il n’y a aucun soucis.

    Maintenant je veux créer dans cet ensemble une loi d’adition (+) semblable a celle dans N.
    Il y a plusieurs une façons de dire que T3 (triangle 3) est la somme de T1 et T2 ; T3=T1+T2. Et c’est la que je demande de l’aide.
    La plus naïve est définir cette loi par la somme des cotés
    Soit T1 ayant les cotés A1, B1, C1 ; T2 (A2, B2, C2)
    On obtient T3(A3, B3, C3) à partir de T1 et T2 par : A3= A1+A2, B3=B1+B2, C3=C1+C2
    Exemple soit T1(1, 1, 1) et T2(2, 2, 2) on a T3=T1+T2 (3, 3, 3)

    Mais cette définition a les problèmes suivants :
    Contradiction avec la loi dans N, en effet dans N quelque soit les nombre P et Q il y a toujours un nombre R tel que Q=P+R ou P=Q+R, ceci n’est pas le cas dans l’ensemble des triangles.
    Soit le triangle P (2, 7, 8) et le triangle Q (1, 9, 9) on ne trouve aucun triangle R tel que Q=P+R ou P=Q+R (les valeurs négatives on les a pas encore créés)

    Je défini une autre loi :
    T3 ayant les coté (X, Y, Z) est obtenu à partir de T1( A1, B1, C1) et T2 (A2, B2, C2) par :
    X=A1+A2 (somme des plus petits cotés des triangles T1 et T2)
    Y= C1 ou C2 (le plus grands des cotés des triangles T1 et T2)
    Z= le plus grand de B1 et B2
    Je trouve aussi la même contradiction
    Y a-t-il une solution ou il faudra ajouter les valeurs négatives ?

    -----

    Dernière modification par iharmed ; 25/06/2017 à 14h09.
     


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  2. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    17 103

    Re : Ensemble des triangles

    Bonjour,

    Votre question est liée à la définition d'une relation d'ordre totale sur les triangles (ce qui est sans doute plus facile à définir, mais pas forcément trivial)

    Pour être plus précis, il me semble qu'en trouvant une relation d'ordre ayant une signification géométrique (contrairement à l'ordre lexicographique sur les longueurs des côtés), et en "normalisant" les triangles à prendre en compte (c'est à dire en quotientant l'ensemble des triangles par la relation de similarité) les choses devraient devenir plus simples.
    Dernière modification par Médiat ; 26/06/2017 à 20h30.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  3. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Re : Ensemble des triangles

    bonjour
    Je définis la relation d'addition par 3 paramètres car le tringle a 3 cotés.
    Le triangle T3 qui est la somme des triangles T1 et T2 est définit par :
    -- Sa surface S3 égale à la somme des surfaces S1 er S2
    -- Son périmètre P3 égale à la somme des périmètres P1 et P2
    -- L’un des cotés du triangle T3 prend la valeur du plus petit coté des 6 cotés des triangles T1 et T2

    La somme est vérifier pour T0 (triangle zéro)
    On T1 (A1, B1, C1) + T0 = T1

    Je n’ai pas tout vérifié mais je pense que je suis sur la bonne voie
     

  4. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Re : Ensemble des triangles

    Bonjour

    Une autre formule beaucoup plus convaincante.
    Deux triangles T1 et T2 ayant des surface S1 et S2 et des angles (&1, $1, £1) et (&2, $2, £2)

    On définit la somme des deux triangles T3=T1+T2 par sa surface S3=S1+S2 et ces angles &3=(&1+&2)/2, $3=($1+$2)/2, $3=($1+$2)/2
     

  5. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
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    57
    Messages
    24 030

    Re : Ensemble des triangles

    mais, cela ne te donne pas la "structure" du nouveau triangle.
    je propose ( idée spontanée ) de définir un triangle par :
    ( base, hauteur, centre )
    1 )la base est le plus grand coté
    2 )la hauteur ( compatible avec 1) )
    3 )le "centre" est x=AH/AB ou H est l'intersection de la hauteur avec la base, donc compris entre 0 et 1. ( AB=base ) donc isocèle pour x=1/2

    je défini l'addition par
    (b,h,x)+(b',h',x')=(b+h,b'+h', (x+x')/2) et la multiplication
    (b,h,x)(b',h',x')=(bb',hh',2xx ')
    tout ça est commutatif et distributif.
    on voit avec l'addition que la "forme" de l'addition de deux triangles est intermédiaire entre les "formes" de chacun ( moyenne des x )
    l'élément neutre pour la multiplication est le triangle isocèle ( 1,1,1/2)

    et...................ça marche pas : j'ai un pb avec l'élément neutre pour l'addition.( le x)
    tant pis mon cher G Lux !
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     


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  6. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Re : Ensemble des triangles

    Bonjour
    C’est une très bonne idée « (b,h,x)+(b',h',x')=(b+h, b'+h', (x+x')/2) )) »mais j’ai y trouve 2 problèmes :
    1- s’il y a un problème avec l’élément neutre c’est qu’il faut reprendre le tout. L’élément neutre ca doit nécessairement être logiquement le triangle zéro (T0 ) qui désigne tous les triangles aplatit.
    2- je ne vois pas comment est ce contrôlé que la base (h+b) de la somme est le plus grand coté

    Il faut trouver autre forme néanmoins pour remédier à (1)
     

  7. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    24 030

    Re : Ensemble des triangles

    pardon, faute de frappe pour l'addition c'est
    (b,h,x)+(b',h',x')=(b+b', h+h', (x+x')/2) )) ( il n'y a pas de b+h !! )
    le seul soucis, c'est l'élément neutre de l'addition , ce que je dis d'ailleurs dans mon post.
    peut être avec une addition spéciale pour h =0 ( triangle plat ) ?
    Dernière modification par ansset ; 26/06/2017 à 19h40.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  8. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Re : Ensemble des triangles

    Pour résoudre le problème de l’élément neutre il faut renoncer à l’utilisation du x.
    Je propose de remplacer le x par y = racine carré de (h^2 + (b/2)^2) qui sera l'un des cotés du triangle somme
    Dernière modification par iharmed ; 26/06/2017 à 20h00.
     

  9. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    57
    Messages
    24 030

    Re : Ensemble des triangles

    je ne vois pas comment tu définis addition et/ou multiplication dans ce cas ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  10. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Re : Ensemble des triangles

    T3 est somme de T1 et T2 défini par
    Base = B = b+b’
    Hauteur = H = h+h’
    L’un des coté = (racine carré de (H^2 + (B/2)^2))/2

    Mais ca ne plait pas tellement
    Dernière modification par iharmed ; 26/06/2017 à 20h14.
     

  11. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    24 030

    Re : Ensemble des triangles

    je vais chercher autre chose.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  12. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    647

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    T3 est somme de T1 et T2 défini par
    Base = B = b+b’
    Hauteur = H = h+h’
    L’un des coté = (racine carré de (H^2 + (B/2)^2))/2

    Mais ca ne plait pas tellement
    J'avais pensé à la même chose mais afin d'avoir l'addition des aires :
     

  13. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    677

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    je vais chercher autre chose.
    ok
    Mon objectif, après avoir défini les lois d’addition et de multiplication. Introduire la notion du triangle négatif (ou plutôt à charge négative)
    Ceci me permettra d’écrire des polynômes et équations à triangles et on s'amusera à les résoudre.
     

  14. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    24 030

    Re : Ensemble des triangles

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    ok
    Mon objectif, après avoir défini les lois d’addition et de multiplication.
    c'est déjà pas une mince affaire.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  15. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    647

    Re : Ensemble des triangles

    La seule chose que j'ai trouvé porte sur les triangles isocèles ou équilatéraux. Voici l'idée.
    Un triangle est caractérisé pour son sommet A par le produit des deux cotés adjacents à A et par le avec l'angle du sommet A.
    Donc

    Soit un triangle isocèle , on appelle son équivalent le triangle équilatéral qui a la même aire. On montre facilement que son coté vaut et donc


    Pour un triangle équilatéral, on pose :




    De plus, on pose que tout triangle isocèle est égale à son triangle équilatéral équivalent, ce qui permet de faire ces opérations aussi sur des triangles isocèles. On a ainsi les deux opérations internes addition et multiplication avec une interprétation géométrique, avec la distributivité et la commutativité.

    J'ai parlé de triangles isocèles mais on peut à mon avis généralisé à des triangles quelconques.

    PS : aire d'un triangle :
    Dernière modification par Merlin95 ; 27/06/2017 à 08h50.
     


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