diviseurs specialite maths

[invite9c274b1e]

on a : a^4 = b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3) où a et b appartiennent à Z.

Montrer que b divise a .
je sais ke b/a^4, mais de cela je narrive à conclure que b divise a ...

Si vous pouviez me donner un petit coup de main svp... c'est surement facile, mais quand on bloque...

Merci beaucoup

[inviteeecca5b6]

Bijour,
c'est juste une piste, mais peut etre que tu peux résussir à borner b, et si tu montre que |b|<|a| alors c'est bon

[inviteab2b41c6]

Ca donnerait quoi que |b|<|a| ?

[invite00411460]

si b est un diviseur de a, tu peux écrire a = b*c avec c entier.
donc tu substitues a par b*c dans ton équation, et tu verras que tu obtiens une expression qui ne dépend plus que de c.

en fait tu auras alors un polynome de degré 4 en c.
comme tu sais que c est entier, tu peux utiliser la méthode d'Horner afin de trouver la racine entière de ce polynome, qui sera le c de a = b*c.

ainsi tu démontres que b est diviseur de a.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c274b1e]

j'ai juste un petit problème... je ne connais la méthode d'Horner...
merci beaucoup...

[shokin]

Si b divise a^4, b divise aussi a, car a^4 est multiple de a, a et b étant entiers.

Mais comment sais-tu que b divise a^4 ? c'est plutôt a^4 qui divise b.

Et si tu écrivais plutôt :

1(a^4)-4(a^3)(b)-8(a^2)(b^2)+13(a)(b^3)+10(b^4) =0

mais quelle est donc l'astuce ?

Shokin

[invite00411460]

Si b divise a^4, b divise aussi a, car a^4 est multiple de a, a et b étant entiers.

a=2 , b=16

b divise a^4 (=16)
b ne divise pas a

tu as inversé le raisonnement

[shokin]

Ah ! euh ! b ne divise pas 2 ?`

ou alors je n'ai pas compris ce que voulait dire "m divise n".

Shokin

[invite00411460]

là ça devient du français :
"m divise n" = "m est un diviseur de n"
de là... tu devrais te rendre compte de certaines choses

[shokin]

ah ! d'accord !

j'avais compris la réciproque.

Shokin

[invitea8961440]

Et si tu posait a=bq+r tu as donc ,deux conditions à exloiter ,ton egalité et celle suivant laquelle a^4=mb avec entier,montre que r=0 .

[inviteeecca5b6]

Si on montre que |a|>|b| alors on sait que b divise a puisque b divise aussi a^4... En faisant la décomposition en facteur premier on s'en rend compte

[invite14ea0d5b]

perdu. a = 12 b = 9

a^4 = 2304 * b
pourtant 9 ne divise pas 12.

[inviteeecca5b6]

ok... je me mets a plat ventre afin d'implorer votre absolution

[invitecceb1161]

Bonjour
On a :
a^4 = b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3)
<=> a^4-b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3)=0
En réfléchissant bien on trouve :
<=> (a-5b)(a+2b)(a²-ab-b²)=0
a=5b ; a=-2b etc....
Cordialement Yalcin