Quaternions et Octavions

[invite6b72b336]

au milieux de toutes ces questions mathématiques scolaires, j'ai entendu parle il y a quelques temps des quaternions et octavions (je crois bien) qui sont des nombres a 4 et 8 dimensions, comme les complexes le sont a 2
je me demandais dans quel cadre (a quelles fins) ont-ils ete créés
de plus, j'ai cru comprendre qu'on ne pouvait en inventer que de 2ⁿ dimensions, et pas de 3, 5 ou meme 6 dimensions : comment arrive-t-on a cette conclusion ? comment se fais-ce ?? (et surtout, quelles lois mathematiques restreignent la "creation" de ces nombres sans "paradoxes" ?)
merci !

[invite6b72b336]

je precise mes questions :
- dans quel but precis ces nombres ont-ils ete crees, et quelles avancees ont-ils permis ? (je ne connais que peu les matrices, au cas ou ca vous viendrait a l'idee de m'en parler ! )
- quelles regles / proprietes / incoherences ne permettent pas d'inventer des nombres a 3, 5, 6, 17 dimensions ?
( - a qui ces nombres peuvent-ils bien servir ??? hehe et dans quels domaines, pour quel genre de problemes ?)

[inviteab2b41c6]

Bonjour tout d'abord.
En fait, on peut créer des nombres "à une dimension quelconque", il n'y a aucun problème. Mais on ne peut trouver des liens "intéressants" que si ces nombres ont une "dimension" qui vaut 1, 2 ou 4. (réels, complexes, quaternions)
L'ensemble de ces nombres est un corps, c'est à dire que l'on peut faire tout ce que l'on veut comme dans R (diviser, multiplier etc).
On va avoir un problème avec les quaternions, c'est que la multiplication n'est pas commutative, c'est à dire qu'en général on a pas xy=yx. Celà signifie que la division n'a de sens que si l'on divise à gauche ou à droite, mais en général, diviser n'existe pas.

Les quaternions servent à appréhender un monde en 4 dimension, ils servent en ballistique notamment. Sinon ils sont toujours utiles en maths pures, évidemment.
A+

[invited5b2473a]

Ils servent aussi en mécanique quantique, je crois.


Il existe aussi les sedenions, nombre à 16 dimensions!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b72b336]

est-ce que les octavions et sedenions ne sont utilises que parce qu'ils ont une dimension 2ⁿ, et le sont-ils vraiment ?
a quel niveau en MQ ??

Quinto, tu dis :

En fait, on peut créer des nombres "à une dimension quelconque", il n'y a aucun problème. Mais on ne peut trouver des liens "intéressants" que si ces nombres ont une "dimension" qui vaut 1, 2 ou 4. (réels, complexes, quaternions)

qu'appelle tu liens "interessants" ? quelles sont ils ? (juste quelques exemples !)
et pourquoi la multiplication non commutative pose-t-elle probleme ? c'est aussi le cas pour les matrices non ?

[invite7f2cba89]

je te conseille la lecture des quelques articles reliés à celui-ci:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hypercomplexe

[Bleyblue]

C'est amusant, je me posais aussi la question : pourquoi des nombres de dimensions 2, 4, 8 mais pas des de dimensions 3, 5, 6 ...

Et alors à partir de la dimension 2 (les complexes) on ne peut plus comparer deux nombre apparament ? Ca n'a pas de sens de dire que qu'un certain complexe (a + bi) est plus grand ou plus petit qu'un autre complexe (c + di) ...

[moijdikssékool]

C'est amusant, je me posais aussi la question : pourquoi des nombres de dimensions 2, 4, 8 mais pas des de dimensions 3, 5, 6 ...

pourquoi des multiples de 2? peut-être que ca demande moins de taf de prendre 2 espaces de dimensions 2n-1 pour former un espace de dimensions 2n que d'en rajouter 5 à un espace de 57 dimensions. Commencons par des choses simples

Et alors à partir de la dimension 2 (les complexes) on ne peut plus comparer deux nombre apparament ? Ca n'a pas de sens de dire que qu'un certain complexe (a + bi) est plus grand ou plus petit qu'un autre complexe (c + di) ...

tu compares d'abord les premières entre elles et si elles sont égales, tu compares les 2èmes

[Bleyblue]

tu compares d'abord les premières entre elles et si elles sont égales, tu compares les 2èmes

Les premières et les 2èmes quoi donc ? Tu parles des parties réeles et imaginaires des complexes ?

merci

[inviteab2b41c6]

On parle des coordonnées.

[Bleyblue]

Ah bon ...

[invite4793db90]

Salut,

c'est l'ordre lexicographique, c'est-à-dire l'ordre alphabétique: a+ib<c+id si a<c ou si a=c et b<d.

Il n'existe pas d'ordre sur C qui prolonge l'ordre de IR, mais comme tu le vois on peut néanmoins y coller un ordre.

Pour ce qui est des algèbres de dimension 3, 5 etc., Hurwitz a démontré que les seules algèbres telles que la multiplication par une unité soit une isométrie sont celles pour laquelles la dimension est 1, 2, 4 ou 8.

Cordialement.