Factorisation de a^n - b^n

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Bonjour,

Suite à un exo de shokin sur un autre post, j'essaie de démontrer une formule..

(a - b)(a + b) = a² - b²
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a³ - b³
(a - b)(a^3 + a^2 * b + a * b^2 + b^3) = a⁴ - b⁴
(a - b)(a^4 * b^0 + a^3 * b^1 + a^2 * b^2 + a^1 * b^3 + a^0 * b^4) = a⁵ - b⁵

On peut conjecturer que aⁿ - bⁿ =

On le démontre par récurrence sur n.

Fondation

Pour n=1, (a-b)(a^1-0b⁰ + a^1-1b¹) = (a-b)(a+b) = a²-b²

La formule est donc vraie pour n=1.

Hérédité

On suppose que la formule est vraie pour un certain entier de rang n, on veut le démontrer pour n+1 :




Petite parenthèse j'ai quelques questions sur les sommes, j'suis pas trop accoutumé avec :

Pour n+1 on doit avoir ??

Si je pose k' = k+1, ça me donne bien

Si je me plante complètement dans la voie pour la démo, j'veux bien que vous me le disiez aussi j'essaie juste de m'entraîner ..

Merci,

A+