On m'a finalement donné une bonne solution que je poste ici au cas ou d'autre en aurait besoin :

Notons A_R, B_R, C_R, A_V, B_V, C_V les coordonnées de A, B, C dans
les repères R et V. Notons M_R et M_V les coordonnées d'un point M
dans les repères R et V.
Ov correspond au cas où M_V =(0,0,0)
Xv au cas où M_V = (1,0,0)
Yv au cas où M_V = (0,1,0)
Zv au cas où M_V = (0,0,1)


Les formules générales sont :
M_R = Ov_R + P * M_V
où P est la matrice de passage (inconnue) et Ov_R les coordonnées
(inconnues) de Ov dans R. On écrit cette relation pour A, B, C :


A_R = Ov_R + P * A_V
B_R = Ov_R + P * B_V
C_R = Ov_R + P * C_V


On retranche la première aux deux dernières. B_R - A_R sont alors les
composantes dans R du vecteur AB. On obtient :


A_R = Ov_R + P * A_V
AB_R = P * AB_V
AC_R = P * AC_V


On voit que si on peut déterminer P avec les deux dernières équations,
la première donnera Ov_R.
Si les repères sont quelconques, P possède 9 coefficients, et les deux
dernières équations ne fournissent que 6 données (2 équations * 3
composantes par équation). Mais si les repères sont orthonormés
directs, P préserve les angles, les longueurs et l'orientation. Si P
transforme AB_V en AB_R et AC_V en AC_R, alors il transforme aussi
AD_V en AD_R, où AD est le produit vectoriel de AB par AC. Cela nous
donne une troisième équation permettant de déterminer P.


Exemple :
A_R := [-.319, 2.55, 6.73]
B_R := [2.18, 2.05, -1.52]
C_R :=[1.62, -1.01, 2.91]


A_V := [-1.28, 2.48, 5.65]
B_V := [2.35, 1.03, -2.04]
C_V := [.68, -1.59, 2.39]


On calcule les vecteurs AB et AC dans les deux repères :
AB_R := [2.50, -.50, -8.25]
AC_R := [1.94, -3.56, -3.82]


AB_V := [3.63, -1.45, -7.69]
AC_V := [1.96, -4.07, -3.26]


On calcule AD = produit vectoriel de AB par AC dans les deux repères
AD_R := [-27.5, -6.45, -7.93]
AD_V :=[-26.6, -3.3, -12.0]


On résout le système :
AB_R = P*AB_V
AC_R = P*AC_V
AD_R = P*AD_V
ce qui revient à calculer le produit de matrices :
[AB_R AC_R AD_R] * [AB_V AC_V AD_V]^(-1)
On obtient P :
[.984 -.136 .167 ]
[.146 1.00 -.055]
[-.155 .081 .985]
Les trois colonnes donnent Xv, Yv, Zv dans R.


On calcule Ov_R :
A_R - P * A_V = Ov_R
d'où
Ov_R = [.350, .58, .78]

Lavau Gérard