Autre démonstration : Posons : 1+2+3+4+...+n = S

à partir de (x+1)²=x² + 2x + 1
on a :

1²=(0+1)²=0² + 2x0 + 1
2²=(1+1)²=1² + 2x1 + 1
3²=(2+1)²=2² + 2x2 + 1
4²=(3+1)²=3² + 2x3 + 1
.
.
.
n²=(n-1+1)=(n-1)² + 2(n-1) + 1
(n+1)²=(n+1)²=n² + 2xn + 1
_____________________________
[1²+2²+3²+4²+...+n²]+(n+1)²=[1²+2²+3²+4²+...+n²] + 2x (1+2+3+4+...n) + (n+1)x 1

(n+1)²=2.S + (n+1)

S=(n+1)²-(n+1)/2
= (n+1) (n+1-1)/2
S = n(n+1)/2