Oui, il y a des espaces séparés dénombrables et connexes.
Mais, ils ne sont pas compacts.
(Si l'espace est compact, on peut prendre une fonction continue prenant plusieurs valeurs dont 0 et 1 mais pas toutes les valeurs entre 0 et 1( vu qu'il est denombrable) ,et donc séparer l'espace en deux ouverts.)
Il y a des exemples dans le Bourbaki je crois.
En voici, un que j'avais trouvé (je recopie le mail que j'avais envoyé à un prof de prépa qui m'avait dit que c'était correct).
Malheureusement ce n'est pas trés compréhensible...

Soit E0 l'ensemble des nombres reels entre 0 et 1
> inclus tels que leur développement en base 4 se
> termine par une suite infini de 0. exemple
> 0,32120...0.....
> On munit E0 de la topologie de [0,1]
> Soit la relation d'équivalence: a0,a1a2a3...ak (ak<>0)
> est en relation avec b0,b1b2...bk' (bk'<>0) ssi k=k'
> et pour tout i<k, bi et ai appartiennent a {0,3} ou
> bi et ai appartiennent à {1,2}.
> Soit E l'espace topologique quotient de E0 par la
> relation d'équivalence.
> E est connexe.
> Soit f une bijection de {(m,n) appartient à N^2 tel
> que m<>n} dans N etoile - {1} telle que pour tout m,n
> f(m,n)>m et f(m,n)>n.
> Soit a=3/8 et b=1/8.Ces deux points sont séparés dans
> E.
> Soit g une bijection de N dans l'ensemble des suites
> de E valant "a" à partir d'un certain rang.
> On suppose g tel que rang (g(n))<=n.
> Soit C le sous-ensemble de E^N muni de la topologie
> produit constitué des suites "u" défini ci-dessous
> lortsque i décrit N.
> Soit l le rang de g(i).
> On pose:
> pour k<l, u(k)=g(i)(k)
> pour tout j dans N, u(f(i,j))=b, u(f(j,i))=a
> et u(k)=a partout ailleurs.
> Je crois bien avoir démontré que C est séparé et
> connexe.