transformation de lorentz et invariance de c

[chaverondier]

Le principe de relativité du mouvement s'exprime par la symétrie de point de vue entre observateurs en mouvement de translation à vitesse constante. Pour exprimer cette symétrie de point de vue, le système d'équations modélisant la transformation de Lorentz doit rester invariant par la transformation x <-> x' et t <-> t' et v -> -v (où v désigne la vitesse du nouveau système d'observation par rapport à l'ancien).

Sauf erreur, cela peut se voir comme un cas particulier de loi de composition des vitesses, à savoir (v, -v) -> 0 pour toute valeur de v. Ca apparaît alors comme une condition plus faible, mais incluse dans, la condition de groupe de composition des vitesses. La question est alors est-elle suffisante par elle-même?

Non car, avant d'exprimer la relativité du mouvement, il faut d'abord (par exemple)

• se placer dans une variété 4D munie d'un feuilletage 1D en lignes d'immobilité et telle qu'il soit possible

• d'y exprimer l'homogénéité de l'espace (conservation de l'impulsion = homogénéité de l'espace = invariance par translation spatiale agissant sur la variété spatiale 3D quotient de la variété 4D par son feuilletage 1D)

• d'y exprimer l'homogénéité du temps (conservation de l'énergie = invariance par translation temporelle). En fait, on veut donc que cette variété 4D soit espace principal homogène du groupe des translations spatio-temporelles.

• d'y exprimer l'isotropie de l'espace (conservation du moment cinétique = invariance par rotation spatiale)

Quand on a exprimé tout ça (plus correctement et plus précisément si possible), on se retrouve dans l'espace-temps d'Aristote, cad une variété 4D munie de l'action du groupe d'Aristote (intersection du groupe de Poincaré et du groupe de Galilée, groupe à 7 paramètres contenant les translations spatio-temporelles, les rotations spatiales mais ne contenant pas encore les boosts). On peut voir l'espace-temps d'Aristote (un espace-temps un peu moins symétrique que l'espace-temps de Minkowski) comme le produit d'un espace Euclidien 3D (représentant l'espace) par un espace Euclidien 1D (représentant le temps).

C'est seulement une fois que l'on a ainsi exprimé l'invariance par translation spatio-temporelle, puis l'invariance par rotation spatiale (conduisant à l'espace-temps d'Aristote où l'on a les fameuses règles, dont parle Rincevent, parfaitement rigides vis à vis des translations spatio-temporelles et des rotations) qu'il devient possible d'exprimer la symétrie de point de vue entre observateurs en mouvement uniforme à vitesse constante. L'expression, dans l'espace-temps d'Aristote, de la symétrie de point de vue conduit aux transformations de Lorentz.

Une fois ces transformations obtenues par induction (à partir de principes physiques), on s'aperçoit qu'il s'agit de l'expression algébrique des changements de systèmes de coordonnées inertiels, cad les systèmes de coordonnées orthonormés vis à vis de la métrique de Minkowski (la métrique invariante vis à vis des actions du groupe de Poincaré, le groupe engendré par le groupe d'Aristote et par les boosts).