désolée..ma reponse est sans doute tardive, mais je me suis absentée une semaine...

en reponse donc à ton mail, voici ce que j'en pense :

A)1)b) OK

A)2)a) je suppose que tu parles de f(x) et non pas de f..
c'est bon, juste la rédaction de la conclusion qui cloche :
f(x)appartient à ker(f) et f(x) appartient à im(f) te permet de conclure que f(x) appartient à ker(f) inter Im(f).
ce que tu as montré, c'est que :
tout élément de ker(f) est dans Im(f) ( d'ou l'inclusion..)

B)4)a) tout depend des theor que tu as à ta disposition (par exemple si A et B sont supplementaires dans E, alors la reunion d'une base de A et d'une base de B est une base de E )
pour moi le theor de la base incomplete, c'est autre chose : toute famille libre de E peut etre completee pour obtenir une base de E.
mais pour ce qui concerne ton raisonnement, la reunion de deux familles libres de E n'est pas forcement une famille libre de E...
je reprend donc la reunion de tes deux bases : tu as une famille de 2p=n elements de E avec dim(E)=n..reste à montrer qu'elle est libre. On prend donc une cl de ces n vecteurs supposee nulle. compose alors par f et regarde ce qui se passe..( tu devrais trouver un element de Ker(f) inter F et conclure..)

B)4)c)OK

pour la 4)b) tu as presque toutes les infos : dim(im(f))=p, et ta famille contient p elements de im(f). reste à montrer qu'elle est libre, ou qu'elle est generatrice de Im(f), tu as le choix.. ( pour libre, repart comme dans la question precedente..si tu choisis generatrice, utilise : si une famille est generatrice de E ( cf 4)a) ), alors son image est generatrice de f(E)=im(f) )

a)d) il suffit de savoir construire une matrice d'application lineaire dans une base B : on rentre à la verticale les coordonnées des vecteurs f(bi) dans la base B ( on place souvent pour aider les f(bi) en haut et les (bi) sur le cote droit ) or ici c'est simple, tu connais tous les f(bi)...

le c est tres classique ( à savoir maitriser..)
u appartient à ker(f) ssi f(u)=o, ssi AU=0 en matriciel..reste à résoudre le système obtenu et déterminer une base.
(e1,e2,e3,e4) etant generatrice de E, (f(e1),...,f(e4)) est generatrice de Im(f)=f(E)..reste à verifier si cette famille est libre et sinon éliminer des vecteurs cl des autres..
A² est la matrice de fof...repense à ce que tu as fait dans les parties precedentes..

6) part d'une base de ker(f), qui est aussi une base de Im(f) et utilise cette fois ci le theor de la base incomplete..en plaçant bien tes vecteurs, tu devrais construire une matrice triangulaire.

7) une base de Ker(f), tu as dejà, essaie de completer avec des vecteurs de la base canonique..

je te conseille de revoir :
la construction d'une matrice d'application lineaire dans une base donnee
la recherche d'une base de ker(f) et d'une base de im(f) quand on a la matrice de l'AL.
bon courage pour la suite