Produit continu, intégrale multiplicative ?

[breukin]

Voilà comment on s'en sort pour trouver la bonne branche. Tout vient du fait qu'on doive considérer que le produit continu d'une fonction réelle positive doit être réel positif, pour avoir un minimum de cohérence.

Considérons la fonction dans le plan complexe F(z) = Π_(0,z)(e^is)^ds, le produit continu étant effectué sur le segment du plan complexe (0,z).

Une branche continue du logarithme de e^is est is+2ikπ.
Donc F(z) = exp{∫_(0,z)(is+2ikπ)ds}
Soit F(z) = exp{iz²/2+2ikπz}

Prenons z = xe^iπ/4.

Alors d'après la représentation en produit continu :

F(xe^iπ/4) = Π_{(0,xexp(iπ/4))}e^isds = Π_(0,x)e^{iexp(iπ/4)texp(iπ/4)dt} = Π_(0,x)e^–tdt qui doit donc être réel

Et d'après la formule :

F(xe^iπ/4) = exp{ix²e^iπ/2/2+2ikπxe^iπ/4} = exp{–x²/2+2ikπxe^iπ/4}

Pour que ceci soit réel, il faut que k=0.

Et on a la formule générale Π_(0,z)(e^is)^ds = exp{iz²/2}