Est-ce vrai ?
Il me semble que des méthodes non-perturbatives ont établi qu'une théorie des champs était soit triviale (cad qu'il n'y a pas d'interaction) soit de rayon de convergence nul (cad que la resommation du développement perturbatif d'une interaction ne converge jamais quelque soit la valeur du couplage de cette interaction). Mais ce sont de vagues souvenirs dont aucune référence ne m'est restée.

Cela signifierait que le lagrangien QED ne serait qu'effectif
En toute rigueur QED est une théorie effective pour plusieurs raisons :
1) A partir de E=Mw, la physique n'est plus décrite par QED, mais par la théorie électro-faible.
2) QED n'explique pas la quantification de la charge électrique (le modèle standard non plus d'ailleurs) car basée sur une symétrie abélienne, U(1).
3) Meme si on met de coté quelconque nouvelle physique apparaissant à une certaine échelle, il reste que QED étant basé sur une symétrie U(1), elle souffre de la présence d'un pole de Landau, elle n'est pas asymptotiquement libre. C'est à dire qu'il existe une énergie finie pour laquelle le couplage électromagnétique devient infini (le fameux alpha valant 1/137 à la masse de l'électron). La théorie n'a donc plus de sens au dela de cette échelle. Pour QED je n'ai plus la valeur en tete mais ce pole est bien au-delà de l'échelle de Planck, donc peu important physiquement, puisque QED doit etre remplacé par une autre théorie bien avant de devenir pathologique.

Quelles sont les réflexions autour de cette divergence (causes et solutions) ?
Honnetement je n'en sais rien. Soit on prend un point de vue pragmatique et on se limite à un incroyable accord entre QED et les mesures avec seulement quelques termes de la serie de perturbations (ce qui ne représente pas moins de quelques millions de diagrammes, à 3 ou 4 boucles) pour juger de la validité de la théorie. Soit on tient absolument à obtenir une résolution non-perturbative, et la je n'en sais pas plus... désolé