Bonjour RaFFoX

Tu as ici mis le doigt sur un point important de la modélisation classique de la réalité. Oui il est tout à fait exacte que tu peux bien définir a priori que deux vecteurs quelconques non colinéaire sont orthogonaux ! Et tout ce que tu dis est exacte.

Si l'on a un e.v. réel de dimension finie > 0 , il existe a priori une infinité de produits scalaires définissable dessus. Selon le produit scalaire choisi, tu obtiens un espace euclidien différent ! Et toute les propriétés liées à la notion de produit scalaire (orthogonalité, norme, angles, adjoint, ... ) seront a priori différentes d'un euclidien à l'autre.

Pour faire le lien avec la réalité, il convient de dire que l'espace physique (dans un cadre newtownien) possède naturellement un produit scalaire (en faite ce n'est pas tout à fait exacte, car le produit scalaire en dit un peut trop). Il y a naturellement une notion d'angle.

Chercher à définir mathématiquement ce produit scalaire est une voie sans issue ! Tout ce que tu risques de faire c'est tourner en boucle. Dire que ne nous avance à rien. Il faut alors préciser auparavant dans quelle base on décompose u et v. Une base orthonormée ? ! Mais pour définir la notion de base orthonormée on a justement besoin ... d'un produit scalaire. La base canonique ? Les espaces euclidien ne possède en générale pas de base canonique (même pour , l'appellation base canonique pour {(1,0,...),(0,1,...),...} est trés discutable).

Ce produit scalaire doit donc être supposé comme une donnée première : il existe et les lois de la physique vont avoir une certaine expression dans l'espace euclidien qu'il définit.