On peut observer le phénomène suivant :

U(0) = 1
U(1) = 1/2+1/4 = 3/4
U(2) = 2/4+1/8
U(3) = 2/4+1/16
U(4) = 2/4+1/32
U(5) = 2/4+1/64 ( etc ... )

On peut donc a priori déduire la formule suivante ( du moins ça ne semble pas totalement idiot ) :

U(n) = 1/2+ 0.5^(n+1)

Supposons que la propriété est vraie au rang n


U(n) = 1/2+ 0.5^(n+1)

donc, on a U(n+1) = 0.5* [ 1/2+ 0.5^(n+1) ] + 1/4
= 1/2+0.5^(n+2)

La propriété est vraie pour tout n,
et on voit facilement que la suite tend vers 1/2.