Citation Envoyé par ambrosio
pour ce qui est de la relation clôture/complétion, je pense que l'argument de cardinalité ne suffit pas. D'accord, il y a plus de suites que de polynômes, mais ce qui compte c'est le "nombre" de suites de Cauchy, et ça dépend de la métrique choisie.
Je précise mon argument.
Il existe des espaces complets dénombrables : les espaces discrets. Ce cas est exclu ici car de tels espaces ne sont les complétés que d'eux-même.
La question que je me pose est : est-il possible à un corps de caractéristique 0 complet dont tous les points sont des points d'accumulation (parfaits) peut-il être dénombrable?
Les points sont soient tous isolés soient tous points d'accumulation car l'addition définit des homéomorphismes locaux entre chaque point.
Or, les complétés valués de Q non discret sont R et les corps des p-adiques, tous du cardinal du continu. (Aucun algébriquement clos).
Or, Q est toujours présent dans notre cas car est le corps premier de notre corps complet dénombrable.
Evidemment, rien n'impose de prendre une distance topologiquement équivallente à une valeur absolue.
Mais ce dernier résultat me laisse très sceptiques car, ici, la topologie a nécessairement une assez forte "régularité" car est une topologie compatible avec une structure algébrique. (Un exemple de "régularisation" ou de "polissage" : un groupe de Lie peut être défini comme une groupe toplogique ayant une structure de variété continue ; cette continuité et cette structure de groupe imposent qu'on peut redéfinir la structure de variété (sans changer la topologie) pour la rendre analytique. Bref, encore plus fort que les fonctions à une variable complexe dérivables)

C'est sur ça que repose mon argument de cardinalité qui, en résumé, dit chez les dénombrables dès qu'on commence à mettre des trous, on en met tout de suite beaucoup surtout si on veut de la régularité (structure algébrique).
Il n'a rien de rigoureux et n'a pas prétention à l'être mais, perso, il me convainc de chercher plutôt à montrer que c'est impossible.