désolé pour le retard j'avais oublié que j'avais commencé un post...

donc

An+1 = rad(AnBn)
Bn+1 = (An+Bn)/2

1) je laisse de côté la question de programmation parce que j'ai pas envie de recopier mon bouquin de cours qui explique très bien comment faire une suite (et d'ailleurs ma calculatric , casio65 a une fonction récurrence).

2)je n'arrive pas tellement à lire votre construction, désolé

donc nous arrivons à la partie algèbre

3)Par récurrence sur n:

0 < Ao < Bo .

soient deux nombres quelconques An et Bn
(An-Bn)²>(ou égal) 0
An²+Bn²-2AnBn>0
An²+Bn²+2AnBn>4AnBn
(An+Bn)²>(2rad(AnBn))²
An+Bn>2rad(AnBn)
(An+Bn)/2>rad(AnBn)
Bn+1>An+1
récurrence établie

donc pour tout n, An<Bn

Bn+1-Bn= (An-Bn)/2
or Bn>An donc Bn+1<Bn et donc (Bn) est décroissante

An+1-An = rad(AnBn)-An=rad(An)(rad(Bn)-rad(An)) or rad(An)>0 et rad(Bn)-rad(An)>0
An+1>An et donc (An) est croissante

donc on obtient

0<An<An+1<Bn+1<Bn.

4)An<An+1
-An+1<-An
Bn+1-An+1<Bn+1-An
Bn+1-An+1<(An+Bn)/2-An
Bn+1-An+1<(Bn-An)/2

Bn-An<(Bo-Ao)/2expn ?
soit une suite (un) telle que
Un+1= An-Bn /2
alors (Un) est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme Uo=Bo-Ao / 2
Un= (1/2)expn * (Bo-Ao)
Bn+1-An+1<Un+1
Bn-An<Un
Bn-An<(Bo-Ao)/2exp n


or lim (Bo-Ao) (n->+oo) = Bo-Ao et lim 2 exp(n) (n->+00) = +00 donc lim (Bo-Ao)/2exp(n) (n->+00)=0

et de plus Bn-An > o donc d'après le théorème des gendarmes lim Bn-An = 0

lim (B-A)n=o
(An) croissante
(Bn) décroissante

=> les suites (An) et (Bn) sont adjacentes et tendent conséquemment vers une limite commune réelle L.