Donc, si je comprends bien, tu travailles en norme L2.

Il y a deux problémes: à l'origine et à l'infini (t'es vraiment gâté, là!).
A l'infini, le mieux c'est d'utiliser la transformée de Fourier (c'est une isométrie de L2 sur lui même, ça tombe bien). Regarde la croissance de la TF de ta fonction F; si ça décroit assez vite, c'est bon, tu peux approximer par des fonctions à support compact.
En l'origine, c'est plus délicat. Une singularité en 1/r n'est pas bien méchante, au moins pour ce qui est de la partie radiale. Ton Laplacien en sphériques va remultiplier par r la fonction. Donc tu peux voir si c'est 2 fois dérivable aprés cette opération. Pour l'autre facteur 1/r, devant , il est compensé par la mesure .
Reste la partie angulaire, mais là, il faudrait avoir l'expression de F pour dire quelque chose.
Voila, j'espére que cela t'aide un peu. Sinon, poste l'expression de F, il faut regarder plus précisemment.