Pour montrer que E et son bidual algébrique E** ne sont pas isomorphe quand E est de dimension infinie, on peut raisonner sur la cardinalité. Si () est une base de E indexée par un ensemble I, alors card(E)=card(I) et card(E*)=card(), où K est le corps de base de E. Du moins, je crois.

Une autre démonstration ici: http://www.les-mathematiques.net/b/e/u/node7.php3

Un exemple de construction de forme linéaire non continue sur un e.v.n E de dimension infinie, pour finir:
Soit () une famille infinie, libre dans E mais non génératrice.
Notons V=<()>, et soit W un supplémantaire de V dans E, .
On définit une forme linéaire f sur V en posant , donc .
Alors, si p désigne la projection sur V parallèlement à W, la composée de f par p est forme linéaire sur E. Notons F cette composée. Il est facile de voir que cette forme linéaire n'est pas continue, par exemple en remarquant que sup .

Cordialement.

P.S: désolé pour ma faible maitrise de Latex, je vais essayer de m'améliorer .