Qu'est ce qu'un point ?

[invite4b1905cf]

Je m'efforce de clarifier des basiques fondationnels...
auriez-vous des sources d'informations qualifiées ?
des définitions à partager ?

Sujet (1) Qu'est ce qu'un point ?

Imaginons deux petites définitions dans l'espace euclidien :

Proposition A : un point est l'intersection de deux droites.

Proposition B : une droite est un ensemble réguliers et infini de points (proposition parcellaire il conviendrait de circonscrire cette "régularité" linéaire)

P(A) et P(B) produisent une définition circulaire.

Peut-on définir le point autrement que circulairement ?
Si, oui , qu'est ce qui le fonde ?
Si, non , cela signe-t-il son statut de fondation ?

Voici les définitions données données par Thierry Paul , lors du colloque sur le discret et le continu à l'ENS : 2006_03_29_paul_adsl.mp4 (Minute 23 )

1) Ce qui est sans partie.
2) Une partie de droite (ou plus précisément l intersection de deux droites)
3) “Le point apparait comme une superposition infinie de choses oscillant dans tous les sens et se reconstruisant miraculeusement en un endroit unique : c’est là que le point se fait”

[invite4793db90]

Salut,

une définition rigoureuse : un point est un singleton.

Cordialement.

[invite6de5f0ac]

une définition rigoureuse : un point est un singleton.

Bonjour,

Une autre: un point est une variété analytique de dimension zéro.

Du moins j'espère...

-- françois

[invite4b1905cf]

une définition rigoureuse : un point est un singleton.
Cher oiseau_alcoolisé Vous substituez à une absence de définition une définition absente ...

pourriez vous étayer votre définition "rigoureuse" :
qu'est ce qu'un singleton ? il va de soi que votre singleton est très certainement un point si le "est" de votre proposition est une copule forte...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Un singleton est un ensemble qui contient un élément.

Je prends les devants : tu vas me demander ce qu'est un élément d'un ensemble...

Alors regarde ici.

Cordialement.

[invite4b1905cf]

Un singleton est un ensemble qui contient un élément.

Je prends les devant : tu vas me demander ce qu'est un élément d'un ensemble...

Alors regarde ici.

Cordialement.

Un point est une instance de la classe singleton
& est une instance de la classe élément

Votre définition est incomplète.

si cette proposition est vraie elle n'en est pas pour autant suffisante pour définir le point. Il semble requis de convoquer tout au moins l'espace .... Et c'est là que la circularité se noue.

[invitef591ed4b]

La circularité dont tu parles Rhizomatique n'est pas vraiment liée au contexte de la définition du point.

Tu dis simplement qu'il n'est pas possible de comprendre le sens d'un mot uniquement par sa définition dans le dictionnaire, étant donné que la définition elle-même contient d'autres mots avec leurs propres définitions, etc.

[invite4b1905cf]

La circularité dont tu parles Rhizomatique n'est pas vraiment liée au contexte de la définition du point.

Tu dis simplement qu'il n'est pas possible de comprendre le sens d'un mot uniquement par sa définition dans le dictionnaire, étant donné que la définition elle-même contient d'autres mots avec leurs propres définitions, etc.

cf W.V.O. QUINE "le mot et la chose"

[invite4b1905cf]

Bonjour,

Une autre: un point est une variété analytique de dimension zéro.

François,

Votre réponse rejoint ma question suivante .... qu'est ce qu'une dimension ?

Nous avançons ... toute fondation est elle nécessairement construite sur des codéterminations ? - circularité - (La construction minimale fondationnelle serait alors tautologie.)


...

[invitef591ed4b]

Une note intéressante :

(Dans un espace euclidien :)
On peut aussi dire plus simplement qu'un point ne désigne pas un objet mais un emplacement. Il n'a donc aucune dimension, longueur, largeur, épaisseur, volume ou aire. Sa seule caractéristique est sa position.

[invite4b1905cf]

Une note intéressante Dans un espace euclidien
On peut aussi dire plus simplement qu'un point ne désigne pas un objet mais un emplacement. Il n'a donc aucune dimension, longueur, largeur, épaisseur, volume ou aire. Sa seule caractéristique est sa position.

Cette définition d'un point comme un "topos" situé me semble pleine de promesses.

Elle présuppose des modalités de localisation et une dissociation des concepts d'espace réel et d'espace de situation.


... merci

[invite10a6d253]

Pour Rhizomatique :

Sur les fondements des mathématiques, plongez-vous par exemple dans "Naive Set Theory" de P. Halmos.
Tout y est pour répondre à l'apparent paradoxe de la poule et de l'oeuf que vous croyez mettre en avant.

[invite4b1905cf]

Pour Rhizomatique :

Sur les fondements des mathématiques, plongez-vous par exemple dans "Naive Set Theory" de P. Halmos.
Tout y est pour répondre à l'apparent paradoxe de la poule et de l'oeuf que vous croyez mettre en avant.

Hegel, Russsell et WitheHead, Wittgenstein,... nous enseignent sur ces sujets sans pour autant les épuiser.

Nous devrions peut être concentrer cette discussion sur ses objets premiers ... Qu est ce qu un point .... qu est ce qu une dimension ?

Laissons de coté les questions de codétermination.


Avez vous une définition complète et consistante de ces deux notions (ou concepts) ?

[invitef591ed4b]

Avez vous une définition complète et consistante de ces deux notions (ou concepts) ?

Si tu acceptes qu'une définition dans un dictionnaire est satisfaisante, alors oui.

Sinon, non.

[invite4793db90]

Bon, si tu acceptes qu'on puisse écrire soit , alors on peut appeler x un élément de l'ensemble X. Et en géométrie, on préfère utiliser le synonyme "point".

Elle présuppose des modalités de localisation et une dissociation des concepts d'espace réel et d'espace de situation.

C'est simplement une façon d'écrire qu'un espace euclidien est isomorphe à ...

[invite10a6d253]

Nous devrions peut être concentrer cette discussion sur ses objets premiers ... Qu est ce qu un point .... qu est ce qu une dimension ?

Les notions de point et de dimension ne sont pas des "objets premiers", du moins, pas pour la grande majorité des mathématiciens en activité aujourd'hui. Comme l'a rappelé martini_bird, pour nous, on admet une seule chose : il existe des ensembles. On en connait des exemples, même si on ne sait pas les définir clairement, et on connait des règles-les axiomes de la théorie des ensembles- permettant d'en fabriquer de nouveaux à partir de ceux qu'on connait dèjà. La notion d'appartenance (d'élément et donc de point) est elle aussi indéfinie, au sens où on dit qu'un point est caractérisé par son appartenance ou non à un ensemble (en l'occurence, un singleton) et où, réciproquement, tout ensemble est défini par l'ensemble des points qui lui appartiennent.
A partir de là, on peut définir tous les objets mathématiques courants (dont les points du plan, la dimension d'un espace, etc...).
La définition même d'ensemble et de la relation d'appartenance est du ressort de la théorie axiomatique des ensembles, qui est plus le champs de compétence des logiciens que des mathématiciens.

Si vous souhaitez repenser les fondements des mathématiques modernes et notamment prendre comme point de départ les notions de point et de dimension, après tout pourquoi pas.
Mais, sachez que les mathématiques ont déjà fait l'autocritique de leurs fondements au début du siècle dernier. Ce qui ne veut pas dire, que les questions envisagées ne sont plus pertinentes. Simplement, il vous faut à mon avis commencer par une bibliographie approfondie sur le sujet, si vous souhaitez ouvrir une discussion pertinente.
Car, pour l'heure, et ne connaissant pas, à l'évidence, les fondements des mathématiques modernes, vous vous êtes, à mon avis, trompé de forum.

[Médiat]

@Rhizomatique :

De quoi voulez-vous parler ?
Du point d'Euclide et de ses camarades géomètres ?
Du point de Grothendieck et de ses copains géo-algébristes ?
Du point de Hrushovski et de ses confrères modèle-théoristes ?
ou autres, bien sur???

[invite4b1905cf]

@Rhizomatique :

De quoi voulez-vous parler ?
Du point d'Euclide et de ses camarades géomètres ?
Du point de Grothendieck et de ses copains géo-algébristes ?
Du point de Hrushovski et de ses confrères modèle-théoristes ?
ou autres, bien sur???

Prenons les un par un ... si possible... en collectionneurs... une micro-archologie des savoirs centrés le / les points.

[invite4b1905cf]

[QUOTE=edpiste;862731]

Nous devrions peut être concentrer cette discussion sur ses objets premiers ... Qu est ce qu un point .... qu est ce qu une dimension ?
/QUOTE]

Les notions de point et de dimension ne sont pas des "objets premiers", du moins, pas pour la grande majorité des mathématiciens en activité aujourd'hui. Comme l'a rappelé martini_bird, pour nous, on admet une seule chose : il existe des ensembles. On en connait des exemples, même si on ne sait pas les définir clairement, et on connait des règles-les axiomes de la théorie des ensembles- permettant d'en fabriquer de nouveaux à partir de ceux qu'on connait dèjà. La notion d'appartenance (d'élément et donc de point) est elle aussi indéfinie, au sens où on dit qu'un point est caractérisé par son appartenance ou non à un ensemble (en l'occurence, un singleton) et où, réciproquement, tout ensemble est défini par l'ensemble des points qui lui appartiennent.
A partir de là, on peut définir tous les objets mathématiques courants (dont les points du plan, la dimension d'un espace, etc...).
La définition même d'ensemble et de la relation d'appartenance est du ressort de la théorie axiomatique des ensembles, qui est plus le champs de compétence des logiciens que des mathématiciens.

Si vous souhaitez repenser les fondements des mathématiques modernes et notamment prendre comme point de départ les notions de point et de dimension, après tout pourquoi pas.
Mais, sachez que les mathématiques ont déjà fait l'autocritique de leurs fondements au début du siècle dernier. Ce qui ne veut pas dire, que les questions envisagées ne sont plus pertinentes. Simplement, il vous faut à mon avis commencer par une bibliographie approfondie sur le sujet, si vous souhaitez ouvrir une discussion pertinente.
Car, pour l'heure, et ne connaissant pas, à l'évidence, les fondements des mathématiques modernes, vous vous êtes, à mon avis, trompé de forum.

Merci d'avoir pris le temps de développer vos arguments.

Vous avez très certainement raison, ce forum n'est peut être pas tout à fait adéquat. Lequel me proposez vous en substitution ?

En mars 1997 j'ai débattu assez longuement avec René Thom de questions de figures et de postures privilégiées fondationnelles. Il est vrai que ses positions en echos avec celles de Poincaré, étaient pour le moins atypiques. Tout cela me force à l'humilité et déplace mes foyers vers des zones plus basiques.

J'ai ouvert ces discussions par :" Je m'efforce de clarifier des basiques fondationnels... " Il n'est nullement question de fondements des mathématiques.

Pour tout vous dire, j'écris sur l'identité des systèmes au monde. Je cherche ici des ouvertures et des définitions à détteritorialiser.

Vous ancrez les mathématiques dans la théorie des ensemble ou encore en logique pure (binaire, ternaire , floue, ou que sais-je... )

Mes préoccupations sont plus simples :

Qu'est qu'un point ?
Qu'est ce qu'une dimension ?
Qu'est ce qu'un espace?

J'aimerais obtenir ici une collection de définitions trans-ou pluri ou inter-disciplinaires.

Futurasciences, en ses forums, est une hétérotopie baignée d'intelligence diffuse. Pouvez vous m'aider encore à la précipiter ?

[invite4793db90]

Les mathématiques sont construites sur un système d'axiomes appelé théorie des ensembles (Zermelo-Frankel). La question « qu'est-ce qu'un point ? » interroge la nature de ces axiomes, or par définition un axiome n'a pas pour vocation d'être discuté.

On peut bien entendu se demander s'il existe de "meilleurs axiomes", mais à ce jour, il me semble que la communauté mathématique se contente de la théorie ZF...

Ceci étant admis, la notion d'espace, de dimension, et toutes les autres notions se construisent relativement simplement : un espace est un ensemble muni de certaines propriétés, la dimension est un invariant qui caractérise cet espace.

Cordialement.

[invite4b1905cf]

Les mathématiques sont construites sur un système d'axiomes appelé théorie des ensembles (Zermelo-Frankel). La question « qu'est-ce qu'un point ? » interroge la nature de ces axiomes, or par définition un axiome n'a pas pour vocation d'être discuté..

Une réponse naïve et sincère : Pourquoi la question "qu'est ce qu'un point?" interrogerait elle la nature de ces axiomes ?

[invite4793db90]

Une réponse naïve et sincère : Pourquoi la question "qu'est ce qu'un point?" interrogerait elle la nature de ces axiomes ?

Paraphrasé, la question s'écrit : « qu'est-ce qu'un élément d'un ensemble ? »

Or la théorie ne le dit pas et pour cause : les mathématiques ne s'intéressent jamais qu'aux relations entre les élements et non à leur nature.

Cordialement.

[invite3bc71fae]

Pour Euclide, c'est l'insécabilité qui caractérise le point.

[leg]

Pour Euclide, c'est l'insécabilité qui caractérise le point.

Et pour moi, un point c'est tout.

[shokin]

Et pour moi, un point c'est tout.

J'hésitais à le dire, mais, en tant que modérateur, je me suis abstenu.

Un point n'est-il pas l'intersection entre deux droites sécantes ? (c'est du moins ce que j'avais appris)

Shokin