Suites - Récurrence TS

[invitee85a3c7c]

Bonjour, je suis bloqué à un exo, voici l'énoncé :

La suite (Un) définie par
Uo=1
Un+1= (3Un+9)/2Un pour tout n >= 0.

a) Montrez que les termes de cette suite sont strictement positifs.

>> J'ai démontré par récurrence, et ca marche très bien !!

b) Montrez que pour tout n>=1 , Un >=2.

>> J'ai essayé de démontrer par récurrence ... et c'est là que ca se bloque =( !

c) Déduisez des questions précédentes que :

|Un+1 - 3| =< (3/4)(|Un-3|) pour tout n >=1

>> Pour cette question, j'ai développé |Un+1 - 3|, et ca me donne :

|-3Un+9| / |2Un| . j'ai tenté d'éncadrer en commencant par faire un encadrement de Un : 2=< Un < 0 .. mais ca ne marche pas trop ... =(

d) Démontrez alors que pour tout n>=1
|Un-3|=< 4(3/4)^n. En déduire la limite de (Un).

Aidez moi pour la question b) SVP !!

Pour les question c) et d), j'essaye de les démontrer par réccurence, mais est-ce que je me dirige vers le mauvais sens ?? Aidez moi svp!!

[invitebfd92313]

par récurrence ca marche très bien, essaye de diviser la fraction en haut et en bas par le dénominateur et ca sera plus facile a démontrer.

[invitee85a3c7c]

euh Hamb, tu parles pour la question b) ?

parce que j'ai ca >>

Un >= 2
2Un >= 2

1/(2Un) =< 2 !
(3Un+9)/(2Un) =< 2 !

ca ne change rien si on divise la fraction en haut et en bas par le dénominateur... =(

[invitea7fcfc37]

Salut,

Tout d'abord tu calcules U₁, tu vois qu'il est supérieur à 2, ça ok ?
Bon ensuite tu le supposes pour un entier de rang n blablabla rédac' comme d'hab, et tu essaies de le montrer pour n+1.



Par hypothèse de récurrence, tu as U_n >= 2, donc U_n+1 il est supérieur à quoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee85a3c7c]

Pour prouver que Un >= 2 pour tout n>=1 : on a deux étapes
1 ) U1 = 6 , donc U1 >= 2

2) Si Un >=2, alors Un+1 >= 2

Je fais la démonstration >>

Un >= 2
2Un >= 2
1/(2Un) =< 2 !
(3Un+9)/(2Un) =< 2 !

CCL > je trouve Un+1 =< 2
au lieu de trouver Un+1 >=2 !!

[invitea7fcfc37]

Désolé mais je comprends pas du tout ce que tu fais, ou plutôt je crois comprendre

Déjà première ligne, tu multiplies d'un côté par 2 et pas de l'autre c'est pas faux ce que tu marques mais en faisant ça c'est sûr que t'arriveras pas au résultat .. idem pour les autres lignes...

La méthode la plus simple, c'est de prendre l'expression de U_n+1, tu sais que U_n >= 2, donc U_n+1 il est au moins supérieur à la valeur quand tu remplaces U_n par 2.

Ok j'suis super clair moi ce soir

PS : elle sert à quoi la question 1) a. ?

[invitee85a3c7c]

J'ai multiplié par 2 d'un coté mais pas de l'autre parce que ..ben .. se sera la mm chose ...

Sinon j'ai pas ce que t'as dit pour la deuxième étape de la récurrenc ...

( et aussi la question a) dois servir pour la question c) [je crois!] parce que on aura besoin de faire un encadrement de Un: 2=< Un < 0)

tu pourrais pas m'éclaircir un petit peu plus pour la question b) ? svp

[invitee85a3c7c]

aidez moi svp , je dois bientot rendre ce dm

[danyvio]

Une piste, peut être : étudier le signe de : (3Un+9)/2Un - 2 et prouver par récurrence que c'est toujours > 0

[danyvio]

Une piste, peut être : étudier le signe de : (3Un+9)/2Un - 2 et prouver par récurrence que c'est toujours > 0

Désolé, mauvaise piste ...

[invitee85a3c7c]

ah merci qd mm Danyvio ^^. Quelqu'un d'autre peut me donner une piste? svp.