Diffusion de matiére.

[invite7f0233d4]

Salut à tous,
Voici comment se présente mon probléme:

Des bulles d’un gaz pur de rayon r sont injectées dans un liquide dans lequel elles montent très lentement en diminuant de volume du fait de la dissolution du gaz dans le liquide. On observe que le temps de dissolution complète de la bulle « t » est proportionnel à r²
Justifier ceci théoriquement en supposant le régime stationnaire et en négligeant la convection.
La couche de de diffusion en phase liquide à une épaisseur égal à 3r.

Merci

Ciao

[obi76]

La diffusion de l'espèce est proportionnelle à la surface, donc la quantité de matière diffusée par seconde entraîne une diminution du rayon de la goutte (calcul rapide à faire) à en r².
C'est exactement le même problème que des gouttes liquides qui s'évaporent, ce n'est ni plus ni moins que de la diffusion liquide dans l'air (et pas l'inverse)je t'invite à regarde ce cours.

Cordialement

EDIT : malheureusement le cours que j'ai ne contient ni le nom de l'auteur ni son approbation. Je le verrai demain et je lui demanderai si je peux héberger son cours quelque part pour te le rendre disponible.

[invite7f0233d4]

La diffusion de l'espèce est proportionnelle à la surface, donc la quantité de matière diffusée par seconde entraîne une diminution du rayon de la goutte (calcul rapide à faire) à en r².
C'est exactement le même problème que des gouttes liquides qui s'évaporent, ce n'est ni plus ni moins que de la diffusion liquide dans l'air (et pas l'inverse)je t'invite à regarde ce cours.

Cordialement

EDIT : malheureusement le cours que j'ai ne contient ni le nom de l'auteur ni son approbation. Je le verrai demain et je lui demanderai si je peux héberger son cours quelque part pour te le rendre disponible.

Salut obi76 , oui je serais très intéressé par un document , d'autant plus que je n'ai pas vraiment tout pigé dans ton message.

A+

[obi76]

Suite à discussion avec mon prof, je te mets en PJ quelques pages de son cours, ça te permettra sans doute à y voir plus clair. En tous cas bon courage, c'est pas super évident au premier abord.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce6aa19]

Suite à discussion avec mon prof, je te mets en PJ quelques pages de son cours, ça te permettra sans doute à y voir plus clair. En tous cas bon courage, c'est pas super évident au premier abord.

Cordialement

Bonjour,
.
Voici ce que je te proposes comme solution.

Du point de vue méthode je commence par faire un modèle simple qui ne me donne pas le bon résultat. a partir de ce modèle j'analyse comment modifier le modèle pour donner la bonne réponse.
.
D'un point de vue calculatoire il ne faudra pas tenir compte des facteurs multiplicatifs qui ne joue pas de role.
.
Premier modèle.
.

La masse de gaz de la bulle vaut: M = r3 (proportionnel au cube du rayon)
.
Une variation de masse vaut dM = 3.r2.dr équation(1)
.

.
Hypothèse: On suppose que la perte de masse dM pendant dt est proportionnel à la surface, ce qui semble raisonnable à priori.

.
d'où:

dM = - r2.dt équation (2)

On en déduit que:

dr/dt = - a (une constante)

Par intégration on a donc:

r = r° -a.t

La bule a donc disparue au bout d'un temps proportionnel à r° le diamètre initiale de la bulle ce qui n'est pas conforme au résultat attendu.

Il faut donc modifier le mécanisme de pertes.
.
deuxième modèle.

Il est facile de vérifier que la relation (2) doit être modifiée sous la forme

dM = -r.dt pour donner le résultat.

Ce qui signifie que le mécanismes de pertes n'est pas controlé par un mécanisme d'échange entre surface mais par un mécanisme de diffusion du gaz dans la phase liquise. Ce qui veut dire que les échanges a la surface vapeur/liquide sont rapides devant les mécanismes de diffusion en volumes.

[obi76]

Ce n'est pas si simple de dire que c'est proportionnel à la surface. Si on arrive vers la densité de vapeur saturante (ou inversement de la quantité de gaz dissolu à saturation), ton évaporation sera (quasi) nulle.
Il faut donc regarder comment évolue la fraction massique dans l'espace, en lui imposant un flux qui dépend lui même de la valeur de cette densité.
Ce n'est pas si simple, mais ça revient au même résultat (étonnant d'ailleurs)

[invite7ce6aa19]

Ce n'est pas si simple de dire que c'est proportionnel à la surface. Si on arrive vers la densité de vapeur saturante (ou inversement de la quantité de gaz dissolu à saturation), ton évaporation sera (quasi) nulle.
Il faut donc regarder comment évolue la fraction massique dans l'espace, en lui imposant un flux qui dépend lui même de la valeur de cette densité.
Ce n'est pas si simple, mais ça revient au même résultat (étonnant d'ailleurs)

.
Bonjour,
.
Justement, ce que je démontre c'est que la cinétique d'échange n'est pas controlée par un mécanisme d'échange de surface mais par un mécanisme de diffusion en volume dans le liquide.
.
Pour traiter correctement en totalité le problème il faudrait proceder ainsi.
.
1 -Ecrire les équations de diffusion en coordonnées sphériques et résoudre celui-ci entre une interface de rayon r (ici r est momentanément un paramètre) et un rayon infini (pour simplifier). La condition aux limites est donnée par la densité de matière dans la bulle.
.
2- Ecrire le flux de diffusion J(t) qui est une fonction de r.
.
3- Ecrire l'équation de conservation de matière.
.
Ce qui est perdue en volume dans la bulle est égale au flux a travers une surface dans le liquide.
.
4- Dans l'hypotèse ou la pression est constante (la bulle remonte lentement par rapport au temps caractéristique de diffusion) écrire l'évolution de r(t) en fonction de J(t). Voir mon post précedent.
.
5- Le rapprochement de l'équation en 1 et 2 avec l'équation en 4 amène un système couplé de la forme:

J(r) = F[r] le flux de diffusion dépend du rayon de la bulle.

r = G[J] le rayon de la bulle dépend en retour des pertes de diffusion.
.
on a une équation fonctionnelle de la forme.

J = F[G[J]]
.
Après écriture de cette équation il s'agira d'effectuer de judicieuses approximations. En particulier il sera judicieux de supposer que le rayon de la bulle s'adaptera instantément au flux de diffusion (Hypotèse adiabatique)
.

[obi76]

C'est le contenu du pdf

[invite7f0233d4]

Bonjour,
.
Voici ce que je te proposes comme solution.

Du point de vue méthode je commence par faire un modèle simple qui ne me donne pas le bon résultat. a partir de ce modèle j'analyse comment modifier le modèle pour donner la bonne réponse.
.
D'un point de vue calculatoire il ne faudra pas tenir compte des facteurs multiplicatifs qui ne joue pas de role.
.
Premier modèle.
.

La masse de gaz de la bulle vaut: M = r3 (proportionnel au cube du rayon)
.
Une variation de masse vaut dM = 3.r2.dr équation(1)
.

.
Hypothèse: On suppose que la perte de masse dM pendant dt est proportionnel à la surface, ce qui semble raisonnable à priori.

.
d'où:

dM = - r2.dt équation (2)

On en déduit que:

dr/dt = - a (une constante)

Par intégration on a donc:

r = r° -a.t

La bule a donc disparue au bout d'un temps proportionnel à r° le diamètre initiale de la bulle ce qui n'est pas conforme au résultat attendu.

Il faut donc modifier le mécanisme de pertes.
.
deuxième modèle.

Il est facile de vérifier que la relation (2) doit être modifiée sous la forme

dM = -r.dt pour donner le résultat.

Ce qui signifie que le mécanismes de pertes n'est pas controlé par un mécanisme d'échange entre surface mais par un mécanisme de diffusion du gaz dans la phase liquise. Ce qui veut dire que les échanges a la surface vapeur/liquide sont rapides devant les mécanismes de diffusion en volumes.

ok mariposa , vraiment j'ai pas encore saisi le cheminement mais je reverrais ça.

[invite7f0233d4]

Suite à discussion avec mon prof, je te mets en PJ quelques pages de son cours, ça te permettra sans doute à y voir plus clair. En tous cas bon courage, c'est pas super évident au premier abord.

Cordialement

Ah merci obi76, c’est vraiment très sympa je verrais se que je pourrais en tirer.

[invite7f0233d4]

En tous cas bon courage, c'est pas super évident au premier abord.

Je confirme, je dois dire que je peine,

Dans le cours l’exemple de la goûte fait appel aux équations de la chaleur, je ne suis pas sensé les utiliser,
Est-ce que mon problème peut se résoudre sans faire appel à cette équation de température du gaz ? (C’est se qu’on attend de moi)

A+

[invite7ce6aa19]

Je confirme, je dois dire que je peine,

Dans le cours l’exemple de la goûte fait appel aux équations de la chaleur, je ne suis pas sensé les utiliser,
Est-ce que mon problème peut se résoudre sans faire appel à cette équation de température du gaz ? (C’est se qu’on attend de moi)

A+

.
A priori je dirais que non. Ton problème est un problème de diffusion et l'on suppose implicitement que l'équilibre thermique est réalisé. Donc tu peux ignorer to équation de diffusion de chaleur.

[invite7f0233d4]

Donc tu peux ignorer ton équation de diffusion de chaleur.

D'accord mariposa;

Mais avant de poser mes équations, vous pouvez m’aider à visualiser
le problème :


-Ce problème est équivalent à la diffusion d’un soluté (la bulle) dans un liquide inetre?

-Comment évolue cette bulle (en l’injectant dans le liquide),
Je ne comprend, pas le rayon de cette bulle diminurait au fur et à mesure de sa pentration dans le liquide ?

-Dire que le gaz est dissous <=> disparition de la bulle rayon=0?

A+

[obi76]

Le problème du cours c'est la diffusion d'un liquide dans du gaz. Mais ça peut très bien être l'inverse, il suffit de considérer la diffusion du gaz dans le liquide et non pas du liquide dans le gaz.

pour le reste je ne me suis pas replongé dedans mais je pense que c'est vraiment similaire.

[invite7f0233d4]

D'accord mariposa;

Mais avant de poser mes équations, vous pouvez m’aider à visualiser
le problème :


-Ce problème est équivalent à la diffusion d’un soluté (la bulle) dans un liquide inetre?

-Comment évolue cette bulle (en l’injectant dans le liquide),
Je ne comprend, pas le rayon de cette bulle diminurait au fur et à mesure de sa pentration dans le liquide ?

-Dire que le gaz est dissous <=> disparition de la bulle rayon=0?

A+

J'ai dit trop de bétises ?

Le problème du cours c'est la diffusion d'un liquide dans du gaz. Mais ça peut très bien être l'inverse, il suffit de considérer la diffusion du gaz dans le liquide et non pas du liquide dans le gaz.

Oui,oui mais la n'est pas le probléme.

Par intégration on a donc:

r = r° -a.t

La bule a donc disparue au bout d'un temps proportionnel à r° le diamètre initiale de la bulle ce qui n'est pas conforme au résultat attendu.

je n'ai pas bien saisi ceci?

A+

[invite7f0233d4]

Tirer du cours (Page 21) :
Conservation de la masse :

Je n’arrive pas déchiffrer cette équation,
Pour je sais que ce terme traduit la quantité de masse qui à diffuse jusqu'a un instant fixé t,

Mais le terme de gauche ?

et sont respectivement les masse volumique et vitesse du mélange
Mais et v ?

Pour l’équation (2) ([Du cours] vapeur de liquide) la aussi je ne vois pas ?

A+ , j’espère

[obi76]

si je me rappelle bien on regarde le flux de masse situé à une distance d (ou delta je sais plus) de la goutte, par conservation de la masse on estime qu'elle est égale à la quantité de masse évaporée par seconde.

Toi c'est pareil, la chaleur latente je crois pas que t'en ai besoin, tu peux mettre 0 (à confirmer)

[invite7f0233d4]

si je me rappelle bien on regarde le flux de masse situé à une distance d (ou delta je sais plus) de la goutte, par conservation de la masse on estime qu'elle est égale à la quantité de masse évaporée par seconde.

Je ne vois pas !!

[invite7f0233d4]

En faites quand on me dit l’épaisseur est de 3r, r : représente le rayon initial de la bulle (r₀) ?

On observe que le temps de dissolution complète de la bulle « t » est proportionnel à r²
Justifier ceci théoriquement en supposant le régime stationnaire et en négligeant la convection.

Même chose ici on me demande de trouver une relation t=f(r²) t.q : r représente le rayon initial r₀.

Je pensais que le r représentais le rayon de la bulle « au fil de la dissolution » (variable)

[invite7f0233d4]

Je pourrais avoir un avis sur le schéma ?

[invite6dffde4c]

Bonjour.

Comme l’épaisseur liquide a été décrite par la même variable (r), je me suis dis que le volume de la sphère liquide est dépendant de celui de la bulle(qui lui diminue) ?

Une fois que le gaz a diffusé dans le liquide, la seule chose qu'il peut faire c'est de continuer à diffuser. Il va pas se mettre a revenir vers la bulle.

Je dois comprendre que dans notre l'épaisseur de la couche liquide sera inchangé,

« En réalité elle aura tendance à s’élargir » ça serait du à l’apport en matière (dissolution)..

La couche avec du gaz ne peut que augmenter d'épaisseur toujours à cause de la diffusion.

Bon c’est clair j’ai des problèmes de visualisations du phénomènes, je me lance avec ce dessin au risque de dire des bêtises,
Pièce jointe 48686
Une couche d'épaisseur 3r autour d'une bulle de rayon r me donne une sphère de rayon 4r.

Pourquoi posé notre bulle initialement au centre ?

Une couche d'épaisseur 3r autour d'une bulle de rayon r me donne une sphère de rayon 4r.

Si la bulle n'avançait pas, elle resterait au centre de la zone de diffusion du gaz. Dans la réalité, comme elle avance, elle sera décentrée et la zone avec du gaz diffusé sera centrée un peu plus bas que la bulle.
De plus, comme la bulle monte, elle laisse derrière elle, une zone avec du gaz diffusé (le "cône" dont je parlais dans des messages précédents).

D'autre part, il est vrai que quand on dit que la durée d'une bulle est proportionnelle à r², il s'agit du rayon initial. Et quand on dit que la zone diffusée fait 3r, il s'agit du rayon courant.
Du moins c'est comme cela que je l'interprète.

Au revoir.

[invite7ce6aa19]

Bonjour.

Une fois que le gaz a diffusé dans le liquide, la seule chose qu'il peut faire c'est de continuer à diffuser. Il va pas se mettre a revenir vers la bulle.

.
Bonjour,
;
Il me semble que tu as complètement modifié l'énoncé du problème:
.
Par exemple:
.
1- La donnée du problème est présentée comme une diffusion d'un gaz A vers l'extérieure (le liquide) ce qui veut dire que le système est hors d'équilibre chimique avec le milieu extérieur autrement dit que le potentiel chimiquede l'espèce dans la bulle est beaucoup plus grand que le potentiel chimique de l'espèce A dans l'eau et le reste asymptotiquement (spatialement et temporellement).

.
2- Il est précisé que la bulle monte lentement, ce qui suppose que le mécanisme de diffusion l'emporte sur le mécanisme d'ascension,ce qui doit se traduire par la comparaison d'un temps caractéristique d'un temps de diffusion Td à un temps de montée de la bulle Tm.
.
Si Tm > Td alors le mécanisme "d'évaporation" de la bulle est controlée par un mécanisme de diffusion en volume. Si Tm < Td il s'agit d'un mécanisme dont la cinétique est controlée par des mécanismes de surface.
.
Dans le cas intermédiaire, celui que tu présentes comme un cone la situation est ultra compliquée puisque 'une partie des échanges sera controlée par un mécanisme de surface, 'dans la partie haute de la bulle, et l'autre partie par des mécanismes de volume dans la partie basse.
.
quand a compliquer le problème. Si la bulle monte il faut prendre en compte la baisse de pression qui sollicite la bulle à l'expansion. Et pourquoi pas tenir compte des échanges de chaleur pour tenir compte de la non adiabacité!
.
En bref faut-il considérer ce problème comme un problème scolaire, ce qu'il semble être ou discuter proprement des mécanismes physiques impliqués et donc discuter fondamentalement des hypothèses?

[invite7f0233d4]

La couche avec du gaz ne peut que augmenter d'épaisseur toujours à cause de la diffusion.

"La couche avec du gaz" !! : Tu parle de la bulle ? (Je n’y faisais pas allusion)

Une couche d'épaisseur 3r autour d'une bulle de rayon r me donne une sphère de rayon 4r.
comme elle avance, elle sera décentrée et la zone avec du gaz diffusé sera centrée un peu plus bas que la bulle.

Lorsqu’elle sera décentrée, je n’aurais plus une épaisseur 3r de liquide entourant ma bulle

De plus, comme la bulle monte, elle laisse derrière elle, une zone avec du gaz diffusé (le "cône" dont je parlais dans des messages précédents).

Elle peut soit montée soit descendre ? (Zones vierges)
Je crois comprendre l’histoire du « cône » ?: tu faits allusion à la superposition (r diminue) des espaces saturé en gaz (se trouvant sous les traces [laisser]de l’ascendances de la bulle)

Et quand on dit que la zone diffusée fait 3r, il s'agit du rayon courant.
Du moins c'est comme cela que je l'interprète.

Je pensais que l’épaisseur de la couche liquide ne variait pas

autrement dit que le potentiel chimiquede l'espèce dans la bulle est beaucoup plus grand que le potentiel chimique de l'espèce A dans l'eau

C'est bien ça,

En bref faut-il considérer ce problème comme un problème scolaire

A prioris c’est ça, c’est censé être tout juste une application aux lois de flux de diffusion,rien de plus


Si tu as une petite idée, peut tu nous faire un petit schéma explicatif qui me permettrais d’y voir enfin plus clair et d'arriver au résultat


Un petit coup de pouce


A+

[invite6dffde4c]

Re.

"La couche avec du gaz" !! : Tu parle de la bulle ? (Je n’y faisais pas allusion)

La couche de liquide entourant la bulle avec du gaz qui a diffusé.

Lorsqu’elle sera décentrée, je n’aurais plus une épaisseur 3r de liquide entourant ma bulle

Si la bulle n'avançait pas, elle resterait au centre de la zone de diffusion du gaz. Dans la réalité, comme elle avance, elle sera décentrée et la zone avec du gaz diffusé sera centrée un peu plus bas que la bulle.

Elle peut soit montée soit descendre ? (Zones vierges)

Je connais UN cas dans lequel une bulle peut descendre au lieu de monter. C'est un cas très spécial. Mais c'est un gars qui avait fait sa thèse sur les bulles qui me l'a raconté. Je ne crois pas que beaucoup de gens connaissent des cas où les bulles descendent (il faut qu'elles se déplacent contre la poussée d'Archimède).

Je crois comprendre l’histoire du « cône » ?: tu faits allusion à la superposition (r diminue) des espaces saturé en gaz (se trouvant sous les traces [laisser]de l’ascendances de la bulle)

C'est bien cela.

Je pensais que l’épaisseur de la couche liquide ne variait pas

Tel que je comprends la phrase, l'épaisseur de la couche est égal à 3r, avec r le rayon courant. Mais c'est mon interprétation d'une hypothèse que je ne trouve pas vraisemblable. Je ne parie même pas un café dessus.


Mais je vous ai déjà dit. Je ne sais pas quelles hypothèses on est censé faire. Si je le savais je vous l'aurais déjà dit.

A+

[invite7f0233d4]

Je connais UN cas dans lequel une bulle peut descendre au lieu de monter. C'est un cas très spécial. Mais c'est un gars qui avait fait sa thèse sur les bulles qui me l'a raconté. Je ne crois pas que beaucoup de gens connaissent des cas où les bulles descendent (il faut qu'elles se déplacent contre la poussée d'Archimède).

Si j’ai posé cette question c’est pour savoir si la partie (de la couche liquide) en contre bas de la bulle, (l’autre moitié) sera saturé ou bien restera vierge en gaz ? puisque la bulle ne diffuse que vers le haut !!

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je crois que vous confondez diffusion et flottabilité. Le gaz diffuse dans toutes de directions et n'est pas influencé par la pesanteur. Par contre la bulle monte car sa densité est plus faible que celle du liquide et la poussée d'Archimède la fait monter.
La couche en dessous de la bulle contient du gaz. Non seulement parce que le gaz diffuse dans toutes les directions, mais parce que, quand la bulle monte, c'est la couche de liquide qui était sur les côtés qui prend la place libérée par la bulle.
À mesure que la bulle monte, le liquide "s'écarte pour la laisser passer" et se referme derrière son passage. Et le gaz diffuse sur ce liquide qui s'écarte et se referme.
Au revoir.

[invite7f0233d4]

Salut,

Je crois que vous confondez diffusion et flottabilité. Le gaz diffuse dans toutes de directions et n'est pas influencé par la pesanteur. Par contre la bulle monte car sa densité est plus faible que celle du liquide et la poussée d'Archimède la fait monter.
La couche en dessous de la bulle contient du gaz. Non seulement parce que le gaz diffuse dans toutes les directions, mais parce que, quand la bulle monte, c'est la couche de liquide qui était sur les côtés qui prend la place libérée par la bulle.
À mesure que la bulle monte, le liquide "s'écarte pour la laisser passer" et se referme derrière son passage. Et le gaz diffuse sur ce liquide qui s'écarte et se referme.

Oui, oui je vois,

Mais au même temps que le rayon diminue, la bulle se déplace (monte). Si non, la diffusion, s'arrêterait car le liquide autour est saturé.C'est en montant que la bulle atteint des zones "vierges" dans lesquelles le gaz peut encore diffuser.

Mais donc la ..

C'est-à-dire même si la bulle restait au centre (ce qui n’est pas le cas ), la diffusion pourrait normalement avoir lieu,
la zone autour de la bulle va bien se saturé, mais par suite le gaz (à partir de la) va continué à diffuser vers les zones vierges!!,
La diffusion est donc indépendante du déplacement ou non de la bulle,


Bref, je me suis un peu dispersé,

A+

[invite6dffde4c]

Re.

C'est-à-dire même si la bulle restait au centre (ce qui n’est pas le cas ), la diffusion pourrait normalement avoir lieu,
la zone autour de la bulle va bien se saturé, mais par suite le gaz (à partir de la) va continué à diffuser vers les zones vierges!!,
La diffusion est donc indépendante du déplacement ou non de la bulle,

Dans la réalité, même si la bulle ne bougeait pas, il y aurait diffusion car la diffusion suit ses propres règles et ne s'arrête pas à 3r. Mais si la bulle n'avançait pas ET que la diffusion s'arrêtait à 3r, une fois cette zone saturée, la diffusion s'arrêterait.
A+

[invite7f0233d4]

Dans la réalité, même si la bulle ne bougeait pas, il y aurait diffusion car la diffusion suit ses propres règles et ne s'arrête pas à 3r. Mais si la bulle n'avançait pas ET que la diffusion s'arrêtait à 3r, une fois cette zone saturée, la diffusion s'arrêterait.

Entendu,

La , la bulle avance la diffusion arrive à terme après avoir saturé une épaisseur 3 r₀


-Pour l’instant je arrive pas à caser la donné : couche liquide d’épaisseur 3r,

2- Ecrire le flux de diffusion J(t) qui est une fonction de r.
.
3- Ecrire l'équation de conservation de matière.
.
Ce qui est perdue en volume dans la bulle est égale au flux a travers une surface dans le liquide.

Je peux écrire :
L’expression du flux de diffusion
: masse volumique du gaz,

Conservation de la matière(à chaque instant t) :



Avec:
r : rayon courant , r₀ : rayon initial,

(surface de la bulle [sphére] à t]


J’irais pas bien loin!!,

?

A+