Ques qu'un tenseur?

[Floris]

Bonjour chère amis, quel qu'un pourrai t'il m'expliquer ce qu'est un tenseur?
Merci de votre jentilesse.
Floris
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[olle]

tu sais ce que c'est un scalaire
tu sais ce que c'est un vecteur
tu sais ce que c'est une matrice

par définition, un tenseur d'ordre 2 associe un vecteur à chaque direction.

soit Tau le tenseur, n la direction (sous forme de vecteur colonne), et T le vecteur associé à la direction n), on a :

Tau.n = T (produit matriciel)

donc du point de vue des dimensions :

en 3D : comme n est 3x1 et T est aussi 3x1, on a Tau de dimension 3x3
en 2D : comme n est 2x1 et T est aussi 2x1, on a Tau de dimension 2x2

en définitive, un tenseur est une matrice de dimension égale au nombre de composantes de l'espace considéré.
il y a biensur bcp plus à dire à ce sujet.

de façon plus générale, on dit :

un tenseur d'ordre n associe un tenseur d'ordre n-1 à toute direction.
un tenseur d'ordre 2 est donc une matrice, un tenseur d'ordre 1 est un vecteur et un tenseur d'ordre 0 est un scalaire

[Gaétan]

Ouais, c'est les définition gentil qu'on trouve dans le cours de méca.
Je pense qu'un tenseur se définis à partir de la loi de transformation des tenseurs.
Un tenseur d'ordre p, q Ta1 ... apb1 ... bq à p indices contravariants (en exposant) et q indices covariants (en indices) est un objet à 4p X 4q composantes qui se transforme comme un produit de p 4-vecteurs contravariants et q 4-vecteurs covariants.
Je veux même pas essayer de mettre la formule de transformation d'un tenseur. C'est bourré d'indices partout et serait illisibles ici. De plus, il y a plein de trucs à définir dans cette définition. Et je suis même pas sûr de pas avoir mis d'erreurs.
Le mieux est peut-être de s'en tenir à ce qu'a dit Olle.

[olle]

ouais mais moi g vu le "18 ans" pas loin du nick
si il te comprend, moi je fais CC.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Plutôt que d'expliquer ce qu'est un tenseur (les autres l'ont fait), je vais donner un exemple : quand on soumet un corps à un champ électrique E, il se polarise et il apparaît un dipôle P parce que les charges électriques ont été déplacées.
En première approximation, on va écrire que P = (khi) E où khi est la susceptibilité électrique.
On voit bien que P et E sont des vecteurs et que si le corps est tordu ou anisotrope, ils ne seront pas colinéaires (par exemple la polarisation a tendance à privilégier les pointes). khi va alors ressembler à une matrice dans ce cas.
On a un problème si on change de système d'axes. Les composantes de P et E vont changer (classique !), donc khi aussi, de manière plus compliquée.
C'est cette transformation des composantes de khi qui justifie la théorie des tenseurs.

[invitea3fc981a]

Je vais donner un autre exemple, peut-être plus simple à appréhender : celui du tenseur de déformation. Imagine un objet, une gomme par exemple, que tu déformes. Comment rendre compte des forces qui s'appliquent ? Il y a les forces sur la première face suivant x, y et z, sur la deuxième face etc. On réunit donc les composantes dans un tableau, une matrice, qui va s'appeler un tenseur, ici de dimension 3x3, qui va donner :

| F_xx F_xy F_xz
| F_yx F_yy F_yx
| F_zx F_zx F_zz

où F_xx est la force s'exerçant suivant x sur les faces orthogonales à x, F_xy est la force s'exerçant suivant y sur les faces orthogonales à x, etc.

Un tenseur de déformation peut ainsi avoir des dimensions jusqu'à 9x9 si on tient aussi compte des torsions.

[invite51f4efbf]

Ouais, c'est les définition gentil qu'on trouve dans le cours de méca.
Je pense qu'un tenseur se définis à partir de la loi de transformation des tenseurs.

C'est une propriété caractéristique : ça peut définir un tenseur, mais il y a des définition bien plus simples.

Un tenseur de type (p,q) sur un espace vectoriel réel de dimension finie E est une application T : E* x ... x E* x E ... x E ---> IR, où il y a p copies du dual E* et q copies de l'espace. En d'autres termes il s'agit d'une forme linéaire sur E* x ... x E* x E ... x E ou encore d'un élément de (E* x ... x E* x E ... x E)*.

Après seulement on fait joujou avec les bases duales pour trouver des expressions en coordonnées et voir qu'elles se transforment bien relativement aux changements de bases.

On peut bien entendu écrire des sommes de E* et E au lieu de produit mais c'est pareil en nombre fini.

Par contre, il existe ce qu'on appelle un [b]produit tensoriel[/i] de deux modules en général, mais c'est le meilleur groupe abélien qui fait commuter un diagramme particulier. Si on n'a pas fait un peu d'algèbre c'est vite imbittable (mais indispensable).

[Floris]

Merci beaucoup à tous pour vos explications claires et cordiales.
Bien amicalement à vous
Floris