2+2=3.99999999999999999

[Eliès]

salut a tous,

En seconde notre prof de math nous avait demontrer je ne sait plus trop coment que 2+2=3.9999999...et pas 4.
Il me semble que c'etait une histoire de suite.

quelqu'un le conait????


merci
-----

[danyvio]

Ce thème a été largement débattu ici. QUand on parle de nombres RéELS, 3.9999 etc. (= à l'infini) est = à 4.

[kNz]

Bonjour,

Plus en détail : http://forums.futura-sciences.com/thread76142.html

[invitec053041c]

Ben plein je sais pas;
On peut dire par exemple que 1=lim à l'infini de la somme pour K variant de 1 à n de 0.9*(1/10)^n=0.9+0.09+...=0.999999999 999...........
donc 3+1=3.99999999999999999..... si on prend notre 1 d'en haut; mais bon!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Et de toutes manières, il y a la propriété des réels qui dit: si la différence de deux nombres réels est arbitrairement aussi petite qu'on le souhaite, alors ces 2 nombres sont égaux.
Ca doit être une conséquence de la construction des réels par suites de Cauchy, me trompe-je?

[invite35452583]

Et de toutes manières, il y a la propriété des réels qui dit: si la différence de deux nombres réels est arbitrairement aussi petite qu'on le souhaite, alors ces 2 nombres sont égaux.
Ca doit être une conséquence de la construction des réels par suites de Cauchy, me trompe-je?

Non, c'est la conséquence de la définition du corps des réels comme corps archimédien complet. Comme la construction par suites de cauchy donne un tel corps alors c'est une des constructions possibles de IR.
Voilà pour la partie éclaircissement.

Sinon, on a aussi quelque part 1+2+4+8+16+...=-1
Voilà pour la partie

[invitec053041c]

Ok merci homotopie

[invitea250c65c]

Bonsoir,

Nous notre prof de maths au début de l'année nous a proposé la démonstration suivante (je note 0.999...=0.9| pour des raisons pratiques):

a=0.9|
donc 10a=9.9|
on a 10a=9+a
soit9a=9, soit a=1

Donc 0.9|=1.

J'ai trouvé ca bizzare au début, mais au fond c'est logique.

A+

[piwi]

je ne sais pas si les vrais matheux trouvent ca joli. Pour ma part c'est la demonstration que je connaissais et je trouve que c'est la plus elegante.

cordialement,
piwi

[invitec053041c]

Oui génial , jolie démonstration !

[invitec053041c]

On peut dire aussi que
1=1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.3333.. + 0.3333.. + 0.3333.. = 0.99999...

[inviteb17f6c36]

je pense que le 1/3 + 1/3 + 1/3 est la plus calsse

[invitec053041c]

Oui, le problème c'est qsue je ne sais pas si on ne se sert pas du fait que 1=0.9999... pour dire que 1/3=0.3333
Quoique, on peut trouver par une simple division euclidienne que 1/3=0.333 ...

[invite6f0362b8]

Oui, le problème c'est qsue je ne sais pas si on ne se sert pas du fait que 1=0.9999... pour dire que 1/3=0.3333
Quoique, on peut trouver par une simple division euclidienne que 1/3=0.333 ...

0.1111....=1/9
3.99999...= 3+( 1/9 x 9 )
3.99999...= 3 + 1 = 4

[invité576543]

Oui, le problème c'est qsue je ne sais pas si on ne se sert pas du fait que 1=0.9999... pour dire que 1/3=0.3333

Pas besoin,

10 x 0.333... = 3 + 0.333...

donc

0.333... = (10-1)/3

toujours le même type de démonstration...

Cordialement,

[invite35452583]

bonsoir,
le tout petit problème avec ces démos c'est qu'à aucun moment les 0,9999...; les 0,33333.... et autres ne sont définis (ce qui est la partie plus délicate et donc renvoyé dans l'enseignement du supérieur). Elle reste néanmoins valide sous cet aspect : si on arrive à définir un "endroit" où c'est défini avec une addition (avec une soustraction qui est son "inverse") et une multiplication distributive par rapport à cette addition alors on aura 0,99999....=1, 3x0,3333...=1 etc Et c'est déjà très intéressant d'aborder ce genre de questions et de démos en lycée.

Et mon 1+2+4+8+16+32...=-1, personne ne veut le démontrer ?

[invitec053041c]

dans un monde fini ca doit sûrement marcher homotopie mais la flemme de chercher car me doute que c'est plus fin que ça!

[erik]

Et mon 1+2+4+8+16+32...=-1, personne ne veut le démontrer ?

Tout le monde sait que

Avec q=2 on obtient 1+2+4+8+16+32...=-1

[invitec053041c]

lol stembrouille!

[invité576543]

Et mon 1+2+4+8+16+32...=-1, personne ne veut le démontrer ?

N'est-ce pas immédiat (et correct) dans les 2-adiques?

Cordialement,

[invité576543]

N'est-ce pas immédiat (et correct) dans les 2-adiques?

...111 x 10 = ...110 = ...111 -1

donc

...111 (10-1) = ...111 = -1

où est le problème?

Cordialement,

Edit : après voir hésité, j'ai tout mis en binaire...

[invite35452583]

bonsoir,
le tout petit problème avec ces démos c'est qu'à aucun moment les 0,9999...; les 0,33333.... et autres ne sont définis

3ème preuve (plus élémentaire et plus dans la veine que les précédentes concernant 2+2=3,9999999....)
On pose a=1+2+4+8+16+32+...
2a=2+4+8+16+32...=a-1
2a-a=-1
a=-1.
On a aussi b=1+3+9+27+81+...
3b=3+9+27+81+243...=b-1
b=-(1/2)
le tout petit problème avec ces démos c'est qu'à aucun moment les 1+2+4+8+16+32...; les 1+3+9+27+81+... et autres ne sont définis.

a=0.9|
donc 10a=9.9|
on a 10a=9+a
soit9a=9, soit a=1

Donc 0.9|=1.

J'ai trouvé ca bizzare au début, mais au fond c'est logique.

A+

Ce n'est pas qu'un problème de logique mais aussi de choix. On ne peut pas avoir en même temps 1=0,999... et -1=1+2+4+... ou -(1/2)=1+3+9+...., (ouf ). Le 1er choix correspond à notre intuition d'une droite qui ne se brise pas dès qu'on la bouge un peu (le bord d'une règle par exemple), les deux autres correspondent à des choix où nos nombres seront plutot en grains de sable.

[invitec053041c]

Je ne comprend pas trop homotopie...
Est-il vrai de dire que 0.999...=1 en utilisant la justification 9a=a ou c'est faux?
J'aimerais une réponse affirmative ou négative car je ne sais plus trop où donner de la tête

[mach3]

On pose a=1+2+4+8+16+32+...
2a=2+4+8+16+32...=a-1
2a-a=-1
a=-1.

a tend vers l'infini, et le double de l'infini ou l'infini -1, c'est la meme chose, en fait c'est de la pure tromperie lol

m@ch3

[invite35452583]

Je ne comprend pas trop homotopie...
Est-il vrai de dire que 0.999...=1 en utilisant la justification 9a=a ou c'est faux?
J'aimerais une réponse affirmative ou négative car je ne sais plus trop où donner de la tête

Désolé de ne pouvoir satisfaire cette demande d'absolu mais la réponse est "ça dépend de où on se place" : chez les rationnels et les p-adiques, c'est faux ; chez les réels c'est vrai. Ou autrement dit (c'est ma 1ère version) si 0,9999.... est bien défini (hypothèse implicite utilisée par les posts montrant que cela vaut 1) alors c'est vrai et les démos de ce fil sont justes.

[Gwyddon]

Note inutile mais peut-être pas tant que ça : 0,9999... est ce que l'on appelle le développement décimal impropre de 1.

[invitec053041c]

Oki merci de vos réponses

[invité576543]

a tend vers l'infini, et le double de l'infini ou l'infini -1, c'est la meme chose, en fait c'est de la pure tromperie

Non, non. Cherche "p-adique" sur le Oueb et ailleurs, et cela te donnera les clés de ce qu'explique homotopie...

Cordialement,

[invité576543]

Note inutile mais peut-être pas tant que ça : 0,9999... est ce que l'on appelle le développement décimal impropre de 1.

Sans trop chercher à entrer dans une polémique, c'est totalement conventionnel. Le système de notation positionnel en base dix admet deux représentations pour tout rationnel de dénominateur 2ⁿ5^m, c'est tout. D'une certaine manière les deux représentations sont autant valables l'une que l'autre.

La symétrie est très visible dans ce que j'appelle la base 3 symétrique, dans laquelle les chiffres sont -1, 0 et 1. Dans cette base 1/2 se représente aussi bien 0.111... que 1.---..., les deux représentations sont parfaitement symétriques.

Cordialement,

Edit: C'est une convention de dire que si on laisse vide le développement, cela correspond à une série infinie de 0. Si on note 1,000... les "..." sont tout aussi ambigus que dans 0,999.... Par convention cela veut dire une infinité de 0, mais il suffit d'un chiffre différent pour que le nombre représenté soit différent. Encore un cas de notation du 0 par le vide...

[invité576543]

Et pour rajouter à la confusion, on pourrait écrire en binaire l'équation de homotopie comme

...111,0 = -0,111...