[spé maths]N.Calédonie Sept 2001: Arithmétique

[invitefc60305c]

Salut.
Si qqun pourrait vérifier svp...
Merci !

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2
On considère A = n² - 2n + 2 et B = n² + 2n + 2 et d = pgcd(A;B).

1)a) Mq non premier.

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donc produit de facteurs, donc non premier

b) Mq tout diviseur de A qui divise n divise 2

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Soit k divieuseur de A qui divise n.
donc
Or donc par transitivité

c) Mq tout diviseur commun de A et B divise 4n.

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Soit q diviseur commun de A et B.

<=>

4) Supposons n impair
a) Mq A et B impairs

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donc

Donc
Pour B c'est aussi trivial.
d divise A et B or ils sont tous les deux impairs donc non divisibles par un entier pair, donc d est impair.

b) Mq d divise n

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Or d et 4 sont premiers entre eux car 4 pair et d impair donc

c) En déduire d divise 2 puis que A et B premiers entre eux.

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Donc
d divise 2 donc d = 1 ou 2, or d est impair donc d différent de 2 donc d = 1.
Or d = pgcd(A;B) donc par transitivité pgcd(A;B) = 1 <=> A et B premiers entre eux.

5) On suppose n pair (n=2m)
a) Mq 4 ne divise pas n² - 2n + 2

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A = n² - 2n + 2 = 4m² - 4m + 2

b) Mq d de la forme 2p avec p impair.

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A et B pair donc d pair, soit de la forme 2p
Or d différent de 4 d'après 5)a).
2p différent de 4
p différent de 2.
donc p = 2k+1

c) Mq p divise n. En déduire que d = 2.
Je reviendrai dessus plus tard, il se fait tard !