Bonjour,

Voilà je bloque sur cet exo :
A est une matrice carré réelle d'ordre n.
On donne un polynome annulateur de A : X³+X²+X=0
Il faut montrer que A est de rang pair.
Bon voici ce que je pense qu'il faut faire :
Le polynome X*(X²+X+1) est scindé à racines simples sur C, le spectre étant {0,j,conj(j)} (ou conj est le conjugué). Donc A est diagonalisable. Donc le noyau de A est de dimension l'ordre de multiplicité de 0 c'est à dire 1. Donc le rang est de dimension n-1. Il faut donc montrer que n est impaire.

Bon là je sais qu'il faut étudier le polynome caractéristique en +infini et -infini.
Caractéristique(A)(x) est équivalent en l'infini à (-x)^n. Et là je ne sais plus comment on conclu sur le fait que n doit être impair...

Merci de votre aide !