Math Spé

[invite51966edf]

Bonjour tout le monde c'ets les vacances et comme d'habitude les profs nous ont inondés de boulot.
J'ai un sujet de math spé qui m'embète (pr être polie) sérieusement.

Exercice 1
1.Le nombre 2¹¹-1 est il premier?
Pour info j'ai trouvé que 2¹¹-1 congru 0[23] donc il est divisible par 23 (et 89) donc il n'est pas premier. Est-ce que ca suffit comme démonstration?

2.Soit p et q deux entiers naturels non nuls ; montrer que 1+2^p+(2^p)²+(2^p)³+...+(2^p)^q= ((2^p)^q-1)/(2^p-1)
ca c'est la sommes des termes de la suite de 1er terme (2^p)⁰ et de raison 2^p.C'est ca ? et comment rédiger

En déduire que 2^p-1 et 2^q-1 divisent (2^p)^q-1
Alors a partir de là j'vous laisse faire..

3. Montrer que si 2ⁿ-1 est premier alors n est premier. La réciproque est'elle vraie?

Exercixe 2 : Soit n un entier naturel

1.Trouver, suivant les valeurs de n, les restes de la division euclidienne de 5ⁿ par 13.

2.En déduire que 1981¹⁹⁸¹-5 est divisible pas 13.

3.Démontrer que pour tout entier naturel n>ou=1; le nombre N=31⁴ⁿ⁺¹+8⁴ⁿ⁺¹ est divisible pas 13

Exercice 3 :

1. x est p étant 2 entiers naturels, calculer la somme 1-x+x²+...+(-1)^px^p

2.Démonter que , quels que soient les entiers naturelsx et n, x²ⁿ⁺¹ +1est un multiple de x+1

3. En déduireque si q=2ⁿ, (2ⁿ)^k+1 est divisible par 2^q +1 si k est impair.

4. Soit m un entier naturel tel que le nombre 2^m+1 soit un nombre premier.
Montrer alors que l'entier m est une puissance de 2.

Merci d'avance pour votre aide et si vous êtes motivés allez faire un tour sur le sujet de Math obligatoire