Peut-on démontrer que 0,99....=1

[invite4793bfc9]

selon vous, peut-on démontrer que 0,99999...... est égal à 1?
-----

[shokin]

10*0.999...=9.9999...
1*0.999...=0.9999...
9*0.999...=9
or 9*1=9

Donc 0.999...=1.

Shokin

[erik]

oui,
notons a=0.999999999999999999.....

10*a=9.9999999999999....
donc
10*a-9=0.999999999999999999.....
c'est à dire
10*a-9=a
d'ou
10*a-a=9
9*a=9
a=1

CQFD

Erik

[Antikhippe]

Pour un physicien, oui, mais par pour un mathématicien ! lol

Soit X = 0,999...
X x 10 = 9,999...
D'autre part, 9,999... = 9 + 0,999... = 9 + X
Nous avons donc : X x 10 = 9 + X
Ce qui peut s'écrire également : 10 X - X = 9
Soit 9 X = 9
Donc X = 1
On peut donc dire que 0,999... est égal à 1 .

Cette démonstration est connue, mais...

Trop tard, je me suis fait devancer... preuve qu'elle est connue ! lol

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Salut,
Cette question a été posée de nombreuses fois déjà...
Il faut savoir que les points de suspension désignent ici par définition la limite : . Donc par définition, ça vaut rigoureusement 1.

[zoup1]

selon vous, peut-on démontrer que 0,99999...... est égal à 1?

oui
-----------------------------------pour faire plus de 10 caractères

[invite4793bfc9]

bon ok ca a l'air trop facile pour vous. Mathématiquement c'est du valide? j'prépare le PE et cette démonstration est utilisée. Est-ce de l'irréfutable ou y a -t-il une entourloupe dans le raisonnement?

[invite9e95248d]

c'est irréfutable ^^

[invite4b9cdbca]

Euh j'ai du zapper un bout...

Si on demontre que 0.999999999... = 1

Pourrait on continuer cette demonstration comme suit ?

0.999999999999... = 1

donc lim x->inf (0.99999999...^x) = lim x->inf (1^x)
or, lim x->inf (0.9999999999999...) = 0 (puisque 0<0.9999999...<1)
donc lim x->inf (1^x) = 0
D'ou 0<|1|<1

Cela parait assez... absurde non ? Ou alors j'ai oublié un détail important ?

[shokin]

or, lim x->inf (0.9999999999999...) = 0 (puisque 0<0.9999999...<1)

Justement non !

Shokin

[invite4b9cdbca]

Pourquoi ???

[zoup1]

parceque cela (puisque 0<0.9999999...<1) ce n'est pas vrai

[invite4b9cdbca]

lol j'avais compris que ce n'était pas vrai, mais j'aimerais savoir pourquoi... certes, on a démontré que 0.0999999999... = 1, mais d'un point de vue absolument quantitatif, 1-0.9999999... donnera quelquechose de positif, non ?

[Coincoin]

D'autre part, lorsqu'on fait un passage à la limite, les inégalités deviennent larges (par exemple pour tout x>0, 1/x>0 et pourtant lim(1/x)=0)

[erik]

on a démontré que 0.0999999999... = 1, mais d'un point de vue absolument quantitatif, 1-0.9999999... donnera quelquechose de positif, non ?

Non,
1-0.9999999...=0,
tu sembles oublier qu'il y a une infinité de 9, et donc il n'y a aucune différence (au sens de la soustraction) entre 0.9999999... et 1.

Erik

[invite4b9cdbca]

Disons plutot que je n'ai peut eter pas le niveau adéquat pour bien suivre... Mais d'accord.

Pour voir si j'ai bien compris :

pourrait t-on assimiler ce nombre 0.99999... à ceci :

lim x->inf [1-(0.1^x)] ?

[invite787e8665]

10*0.999...=9.9999...
1*0.999...=0.9999...
9*0.999...=9
or 9*1=9

Donc 0.999...=1.

Shokin

totalement faux comme raisonnement

[Quinto]

Non, c'est totalement correct.
trouve moi l'erreur du raisonnement...

[erik]

Bon,

Ce qui peut être choquant dans les propriétés du nombre 0.9999999..... viens surement de l'enfance, je m'explique :
Les nombres entiers (puis relatifs) sont facilement comprehensibles/imaginables par un enfant de 7/8 ans, par la suite la découverte des rationnels (les nombres de la forme a/b a et b entiers) est imaginable-pas trop choquante;
1/3=0.3333333333, bon pas trop de problèmes ("je coupe la tarte en trois, ça tombe pas juste, y'a une infinité de décimales, mais bon c'est juste un tiers de tarte")

Par la suite (assez tard) on viens nous apprendre que les nombre rationnels ne sont pas suffisant, qu'il faut rajouter des nombres (pour "boucher les trous") pour finir par former les nombres Réels. Et la hic, on ne nous dit pas comment sont construit ces nombres réel-pas rationnels, généralement on se contente d'un "des nombres avec ce qu'on veut comme chiffres après la virgule".

En fait quand on creuse un peu on s'apperçoit que les nombres réels peuvent être construit (y'a d'autre façon de les construire mais c'est équivalent) à l'aide de DDI (développement décimaux illimités), lors de cette construction on est amené à définir des classes d'équivalences d'écriture des nombres réels (c'est à dire des façons qui sont différentes d'écrire un nombre réel, mais qui en fait représente exactement le même nombre). Cette construction des réel permet de constater que 0.999999.... et 1 sont deux écritures du même nombre.

On nous a menti quand on était gamin, un nombre réel n'est pas un nombre avec n'importe quoi après la virgule, en fait quand il y'a une infinité de 9 après la virgule on ne l'écrit pas comme ça.
0.9999999999999999 on écrit (et c'est strictement le même nombre) 1
1.9999999999999999 on écrit (et c'est strictement le même nombre) 2
....

Erik

[invite787e8665]

Non, c'est totalement correct.
trouve moi l'erreur du raisonnement...

La voici
Imaginons que tu prenne 0.99 avec 10 9 apres la virgule
Tu multiplie par 10:

9.999999999
Tu enleve une fois 0.9999999999 mais tu n'obtiens pas 8, donc tout raisonnement de multiplication et soustraction addtion est faux puisqu'ils se basent sur un arrondi

[invite4b9cdbca]

10*0.999...=9.9999...
1*0.999...=0.9999...
9*0.999...=9
or 9*1=9

Donc 0.999...=1.

Ici, shokin ecrit 9*0.999999...=9
Mais dans ce cas, il s'appuie sur le fait que 0.999...=1
Or, c'est ce qu'il faut demontrer.
Il ne peut pas utiliser la résultat pour faire sa demo, si?

Logiquement, on ne peut pas donner de valeur exacte a 9*0.99999...

[Quinto]

La voici
Imaginons que tu prenne 0.99 avec 10 9 apres la virgule
Tu multiplie par 10:

9.999999999
Tu enleve une fois 0.9999999999 mais tu n'obtiens pas 8, donc tout raisonnement de multiplication et soustraction addtion est faux puisqu'ils se basent sur un arrondi

Mais en fait il y'a des pointillés si je ne m'abuse, donc l'écriture est illimité et c'est juste.

[invite787e8665]

Ici, shokin ecrit 9*0.999999...=9
Mais dans ce cas, il s'appuie sur le fait que 0.999...=1
Or, c'est ce qu'il faut demontrer.
Il ne peut pas utiliser la résultat pour faire sa demo, si?

Logiquement, on ne peut pas donner de valeur exacte a 9*0.99999...

Donc leur démonstration part sur un arrondi de ce qu'ils doivent démontrer, CQFD

[invite787e8665]

Mais en fait il y'a des pointillés si je ne m'abuse, donc l'écriture est illimité et c'est juste.

Non ce n'est pas juste car comme l'infini est infini, tu ne peux considérer que 10*0.999_ - 0.99_ = 9

[invite4b9cdbca]

Donc leur démonstration part sur un arrondi de ce qu'ils doivent démontrer, CQFD

Par contre, la demonstration d'erik ne semble pas avoir le meme probleme

notons a=0.999999999999999999.....

10*a=9.9999999999999....
donc
10*a-9=0.999999999999999999.....
c'est à dire
10*a-9=a
d'ou
10*a-a=9
9*a=9
a=1

En aucun cas, il n'utilise le fait que 0.99999...=1

Donc son raisonnement est correcte. Non ?

[invite787e8665]

Par contre, la demonstration d'erik ne semble pas avoir le meme probleme



En aucun cas, il n'utilise le fait que 0.99999...=1

Donc son raisonnement est correcte. Non ?

bah logiquement le raisonnement n'est pas correct a partir du moment ou il multiplie par 10 (du point de vue de l'infini de 9)

[invite4b9cdbca]

Donc on a pas le droit d'associer dans une démonstration un nombre arrondi et un nombre exact ?

[g_h]

Ici, shokin ecrit 9*0.999999...=9
Mais dans ce cas, il s'appuie sur le fait que 0.999...=1
Or, c'est ce qu'il faut demontrer.
Il ne peut pas utiliser la résultat pour faire sa demo, si?

Logiquement, on ne peut pas donner de valeur exacte a 9*0.99999...

Non, non, c'est juste, on trouve la 3eme egalité par une soustraction membre à membre de la 1ere et de la 2eme.

[invite765732342432]

Ici, shokin ecrit 9*0.999999...=9
Mais dans ce cas, il s'appuie sur le fait que 0.999...=1

Pas du tout...
Il déduit cette ligne de la soustraction des 2 précédentes:
10*0.999...=9.9999...
1*0.999...=0.9999...

donne:
(10-1)*0.999...=9.9999...-0.9999...
d'où 9*0.999...=9

[erik]

bah logiquement le raisonnement n'est pas correct a partir du moment ou il multiplie par 10 (du point de vue de l'infini de 9)

Pas d'accord,
Le raisonnement est parfaitement correct (je t'invite à lire mon post #19, ce n'est pas une preuve, mais ça peut faire cogiter), donc Le raisonnement est parfaitement correct disais je donc :
On peut écrire 1/3 0.3333333333333333333.....
Et on a bien 10*1/3=3.33333333333333333.....

la question du nombre infini de chiffres aaprès la virgule et le résultat que l'on obtient quand on multiplie par 10 a très bien été expliqué par Deep_turtle précédemment : la virgule se déplace cers la droite.

J'ai parfaitement le droit (mathématiquement parlant) de multiplier 0.999999.. par 10,
et c'est inévitable on obtient 9.999999.....

Erik